Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Một mặt phẳng IJ cắt các cạnh AD và BC lần lượt tại N và M.
a) Cho trước điểm M, nêu cách dựng điểm N.
b) Gọi K là giao điểm của MN và IJ. Chứng minh rằng K là trung điểm của MN.
Lời giải chi tiết
(h.100)
a) Trường hợp M không phải là trung điểm của BC
Nối M với I cắt AC tại E. Nối E với J cắt AD tại N, N chính là điểm cần tìm
Trường hợp M là trung điểm của BC.
Khi đó IM // AC và (IJM) // AC. Vậy mp(IJM) cắt mp(ACD) theo giao tuyến JN // AC.
b) Vì \({{IA} \over {JD}} = {{IB} \over {JC}} = {{AB} \over {DC}}\), nên qua IJ, AD, BC có ba mặt phẳng song song (định lí Ta-lét đảo).
Ba mặt phẳng này cắt hai đường thẳng AB và NM tại các điểm I, A, B và K, N, M. Vì I là trung điểm của AB nên K là trung điểm của MN (định lí Ta-lét).
