Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a, ^BAD=600,^BAA′=^DAA′=1200 .
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D.
b) Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’.
c) Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’.
Lời giải chi tiết
Đặt →AB=→x,→AD=→y,→AA′=→z thì
→x2=→y2=→z2=a2→x.→y=a22;→x.→z=−a22;→y.→z=−a22
a) Vì AB // A’B’ nên góc giữa AB và A’D bằng góc giữa A’B’ và A’D, đó là góc ^DA′B′ hoặc 1800−^DA′B′ .
Đặt ^DA′B′=α.
Ta có:
A′D=a√3,A′B′=a→DB′=→x−→y+→z⇒→DB′2=3a2−a2−a2+a2=2a2
Vậy 2a2=a2+3a2−2a.a√3cosα⇒cosα=1√3.
Như thế góc giữa A’D và AB bằng α mà cosα=1√3
→AC′=→x+→y+→z⇒→AC′2=3a2+a2−a2−a2=2a2
Dễ thấy AB’ = a.
Ta có ADC’B’ là hình bình hành mà AD = AB’, AC’ = B’D nên tứ giác ADC’B’ là hình vuông. Vậy AC’ ⊥ B’D, tức là góc giữa AC’ và B’D bằng 90°.
b)
SA′B′CD=A′D.A′B′sin^DA′B′=a√3.a.√63 .
Vậy SA′B′CD=a2√2
Đặt ^ACC′=β thì AC′2=AC2+CC′2−2AC.CC′.cosβ
hay
2a2=3a2+a2−2a√3.a.cosβ⇒cosβ=1√3⇒sinβ=√63
Vậy SACC′A′=AC.CC′.sinβ=a√3.a.√63=a2√2
c) Do →AC′=→x+→y+→z
Suy ra:
→AC′.→AB=(→x+→y+→z)→x=a2+a22−a22=a2
hay
|→AC′||→AB|cosγ=a2⇒cosγ=1√2⇒γ=450
Vậy góc giữa AC’ và AB bằng 45°.
→AC′.→AD=(→x+→y+→z)→y=a22+a2−a22=a2
hay
|→AC′|.|→AD|cosφ=a2⇒cosφ=1√2⇒φ=450
Vậy góc giữa AC’ và AD bằng 45°.
→AC′.→AA′=(→x+→y+→z)→z=−a22−a22+a2=0
Vậy góc giữa AC’ và AA’ bằng 90°.
