Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng
LG a
n(2n2−3n+1)n(2n2−3n+1) chia hết cho 6
Lời giải chi tiết:
Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh
n(2n2−3n+1)⋮6n(2n2−3n+1)⋮6 (1)
Với mọi n∈N∗n∈N∗
Với n=1,n=1, ta có n(2n2−3n+1)=0.n(2n2−3n+1)=0. Hiển nhiên 0⋮6,0⋮6, và vì thế (1) đúng khi n=1n=1
Giả sử đã có (1) đúng khi n=k,k∈N∗n=k,k∈N∗, tức là k(2k2−3k+1)⋮6,k(2k2−3k+1)⋮6, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n=k+1n=k+1
Thật vậy, do (k+1)[2(k+1)2−3(k+1)+1](k+1)[2(k+1)2−3(k+1)+1]
=k(2k2−3k+1)+6k2=k(2k2−3k+1)+6k2 nên từ gải thiết quy nạp suy ra (k+1)[2(k+1)2−3(k+1)+1]⋮6,(k+1)[2(k+1)2−3(k+1)+1]⋮6, nghĩa là (1) đúng khi n=k+1n=k+1
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n∈N∗.n∈N∗.
LG b
11n+1+122n−111n+1+122n−1 chia hết cho 133
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh
11n+1+122n−1⋮13311n+1+122n−1⋮133 (2)
Với mọi n∈N∗,n∈N∗, bằng phương pháp quy nạp.
Với n=1,n=1, ta có 11n+1+122n−1=112+12=133.11n+1+122n−1=112+12=133. Vì thế (2) đúng khi n=1.n=1.
Giả sử đã có (2) đúng khi n=k,k∈N∗,n=k,k∈N∗, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n=k+1n=k+1
Thật vậy ta có
11(k+1)+1+122(k+1)−1=11.(11k+1+122k−1)+122k−1.(122−11)=11.(11k+1+122k−1)+133.122k−1(3)
Mà 11k+1+122k−1⋮133 (theo giả thiết quy nạp) nên từ (3) suy ra
11(k+1)+1+122(k+1)−1⋮133
Nghĩa là (2) đúng khi n=k+1
Từ các chứng minh trên suy ra (2) đúng với mọi n∈N∗
