Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.
b) Từ A kẻ AB1⊥SB,AD1⊥SD. Chứng tỏ rằng mp(AB1D1)⊥SC.
Gọi C1 là giao điểm của SC với mp(AB1C1). Chứng tỏ rằng tứ giác AB1C1D1 có hai đường chéo vuông góc và tính diện tích của tứ giác đó.
Lời giải chi tiết
a) Dễ dàng thấy SAB, SAD là các tam giác vuông tại A.
Mặt khác SA⊥(ABCD),AD⊥DC nên SD⊥DC (định lí ba đường vuông góc), do đó SDC là tam giác vuông tại D.
Tương tự , SBC là tam giác vuông tại B.
b) Dễ dàng chứng minh được
AD1⊥(SCD)⇒AD1⊥SC
Cũng như vậy, ta có AB1⊥SC
Vậy SC⊥(AB1D1).
Gọi O=AC∩BD,O1=B1D1∩SO thì C1=AO1∩SC.
Mặt khác ΔSAB=ΔSAD(c.g.c) nên B1D1 // BD.
Ta lại có
BD⊥(SAC)⇒B1D1⊥(SAC)⇒B1D1⊥AC1
Từ đó SAB1C1D1=12AC1.B1D1
Ta có
AC1=SA.ACSC=a√63B1D1BD=SB1SB=SB1.SBSB2=SA2SB2=a22a2⇒B1D1=a√22
(Chú ý: Có thể thấy B1, D1 thứ tự là trung điểm của SB là SD nên B1D1 // BD và B1D1=12BD)
Vậy SAB1C1D1=12.a√63.a√22=a2√36.
