LG a
Từ khẳng định (khi x thay đổi, hàm số y=sinx nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn [−1;1]”, hãy chứng minh rằng: khi x thay đổi, hàm số y=asinx+bcosx (a, b là hằng số, a2+b2≠0) lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn [−√a2+b2;√a2+b2]
Lời giải chi tiết:
Ta có asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+α)
−1≤sin(x+α)≤1⇒−√a2+b2≤√a2+b2sin(x+α)≤√a2+b2⇒−√a2+b2≤y≤√a2+b2
Vậy hàm số y nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn [−√a2+b2;√a2+b2]
LG b
Xét hàm số y=sinx+cosx−1sinx−cosx+3.
Viết đẳng thức đó thành
(y−1)sinx−(y+1)cosx=−3y−1
để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên lấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện.
(y−1)2+(y+1)2≥(3y+1)2
Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.
Lời giải chi tiết:
Do |sinx−cosx|≤√2 nên sinx−cosx+3≠0 với mọi x.
Khi đó:
y=sinx+cosx−1sinx−cosx+3⇔ysinx−ycosx+3y=sinx+cosx−1⇔(y−1)sinx−(y+1)cosx=−(3y+1)
Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn [−√(y−1)2+(y+1)2;√(y−1)2+(y+1)2]. Đẳng thức trên cho thấy −(3y+1) phải thuộc đoạn đó, tức là:
(3y+1)2≤(y−1)2+(y+1)2
Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để
(y−1)sinx−(y+1)cosx=−(3y+1)
Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với
7y2+6y−1≤0 tức là −1≤y≤17
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 17 và -1.
LG c
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=cosx+2sinx+32cosx−sinx+4
Lời giải chi tiết:
y=cosx+2sinx+32cosx−sinx+4
Ta có: |2cosx−sinx|≤√5, nên 2cosx−sinx+4≠0 với mọi x.
Khi đó,
y=cosx+2sinx+32cosx−sinx+4⇔cosx+2sinx+3=2ycosx−ysinx+4y⇔(y+2)sinx+(1−2y)cosx=4y−3
Để tồn tại cặp số (x;y) thì:
(4y−3)2≤(y+2)2+(1−2y)2
Bất đẳng thức tương đương với 11y2−24y+4≤0 tức là 211≤y≤2
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và 211
