Đề bài
Cho dãy số \(({v_n})\) , xác định bởi
\({v_1} = 2\) và \({v_{n + 1}} = 3{v_n} + 2n - 1\) với mọi \(n \ge 1.\)
Chứng minh rằng \({v_n} = {3^n} - n\) với mọi \(n \ge 1.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Lời giải chi tiết
Chứng minh \({v_n} = {3^n} - n\) với mọi \(n \ge 1.\) (1) bằng phương pháp quy nạp.
Với \(n=1\), ta có \({v_1} = 2={3^1} - 1\)
Giả sử (1) đúng với \(n=k\), ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\).
Ta có \({v_k} = {3^k} -k\) với mọi \(n \ge 1.\)
\({v_{k + 1}} = 3{v_k} + 2k - 1\)
\( = 3({3^k} - k) + 2k - 1 = {3^{k + 1}} - (k + 1)\)
Suy ra (1) đúng với \(n=k+1\)
Vậy \({v_n} = {3^n} - n\) với mọi \(n \ge 1.\)
