Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.
a) Chứng minh rằng đường chéo B1D cắt mp(A1BC1) tại điểm G sao cho B1G=12GD và G là trọng tâm của tam giác A1BC1.
b) Chứng minh rằng (D1AC)//(BA1C1) và trọng tâm G’ của tam giác D1AC cũng nằm trên B1D và B1G′=23B1D.
c) Gọi P, Q, R lần lượt là các điểm đối xứng của điểm B1 qua A,D1 và C. Chứng minh rằng (PQR)//(BA1C1).
d) Chứng minh rằng D là trọng tâm tứ diện B1PQR.
Lời giải chi tiết
a) Gọi O1 là giao điểm của A1C1 và B1D1. Khi đó (A1BC1)∩(BDD1B1)=BO1.
Gọi G là giao điểm của B1D và BO1 thì G chính là giao điểm của B1D với (A1BC1). Dễ thấy ΔGBD∼ΔGO1B1, tỉ số đồng dạng là 2 (do BDB1O1=2).
Vậy B1G=12GD và GO1=12GB, suy ra G là trọng tâm tam giác A1BC1.
b) Dễ thấy
AC//A1C1,D1A//C1B⇒(D1AC)//(BA1C1).
Chứng minh tương tự như câu a), ta có trọng tâm G’ của tam giác D1AC nằm trên đường chéo DB1 và DG′=12G′B1. Từ đó và kết quả của câu a), suy ra G và G’ chia đường chéo B1D thành ba phần bằng nhau.
Vậy B1G′=23B1D.
c) Do A,D1,C lần lượt là trung điểm của PB1,QB1,RB1 nên
PQ//AD1,QR//D1C,RP//CA.
Từ đó suy ra: (PRQ)//(AD1C).
Mặt khác, theo câu b), ta có (D1AC)//(BA1C1), nên (PRQ)//(BA1C1).
d) Vì A,D1,C lần lượt là trung điểm của B1P,B1Q,B1R nên trọng tâm G” của tam giác PRQ phải nằm trên đường thẳng B1G′ và B1G″ Mặt khác {B_1}G' = {2 \over 3}{B_1}D, nên
{B_1}G'' = {4 \over 3}{B_1}D \Rightarrow {B_1}D = {3 \over 4}{B_1}G''.
Vậy D là trọng tâm tứ diện {B_1}PQR.
