Đề bài
Cho số nguyên dương n và cho n số thực dương x1,x2,...,xn thỏa mãn điều kiện x1x2...xn=1. Chứng minh rằng x1+x2+...+xn≥n.
Lời giải chi tiết
Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp.
Kí hiệu bất đẳng thức cần chứng minh theo yêu cầu của đề bài bởi (1)
Với n=1, theo giả thiết bài toán ta có x1=1. Vì thế, ta có (1) đúng khi n=1.
Với n=2, xét hai số thực dương tùy ý x1,x2 thỏa mãn điều kiện
x1x2=1. (2)
Hiển nhiên, trong hai số x1,x2 phải có một số không lớn hơn 1 và một số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, giả sử x1≤1 và x2≥1. Khi đó, ta có
(1−x1)(x2−1)≥0
Suy ra x1+x2≥1+x1x2≥2 (do (2)). Điều này chứng tỏ (1) đúng khi n=2
Giả sử có (1) đúng khi n=k,k∈N∗ và k≥2, tức là giả sử với k số thực dương tùy ý x1,x2,...,xk thỏa mãn điều kiện x1,x2,...,xk ta luôn có
x1+x2+...+xk≥k
Xét k+1 số thực dương tùy ý x1,x2,...,xk−1,xkxk+1 có tích bằng 1 nên theo giả thiết quy nạp ta có
x1+x2+...+xk−1+xkxk+1≥k (3)
Hơn nữa, dễ thấy trong k+1 số x1,x2,...,xk−1,xkxk+1 phải có một số không lớn hơn 1 và một số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, giả sử xk≤1 và xk+1≥1. Khi đó ta có
(1−xk)(xk+1−1)≥0 hay xk+xk+1≥1+xkxk+1 (4)
Từ (3) và (4) suy ra
x1+x2+...+xk−1+xk+xk+1≥
x1+x2+...+xk−1+xkxk+1+1≥k+1
Như thế, ta cũng có (1) đúng khi n=k+1
Từ các chứng minh trên suy ra ta có (1) đúng với n là một số nguyên dương tùy ý.
