Một cách trình bày việc đưa biểu thức asinx+bcosx (a, b là hằng số, a2+b2≠0) về dạng Csin(x+α) nhờ biểu thức toạ độ của tích vô hướng của hai vectơ
Trong mặt phẳng tọa độ gắn với đường tròn lượng giác tâm O gốc A, hãy xét các điểm P(a;b),Q(b;a),M(cosx;sinx)
LG a
Từ công thức →OQ.→OM=asinx+bcosx và
→OQ.→OM=|→OQ|.|→OM|cos(OQ,QM)
Hãy suy ra asinx+bcosx=Ccos(x−β) trong đó β là số đo của góc lượng giác (OA,OQ)
Lời giải chi tiết:
Ta có →OQ.→OM=asinx+bcosx
=|→OQ|.|→OM|cos(OQ,OM)=|→OQ|cos((OA,OM)−(OA,OQ))=|→OQ|cos(α−β),|→OQ|=√a2+b2,β=(OA,OQ)
LG b
Từ câu a) suy ra rằng asinx+bcosx=Csin(x+α) trong đó α là số đo của góc lượng giác (OA,OP),C=|→OP|
Lời giải chi tiết:
Hai điểm P(a;b) và Q(b;a) đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ, nên dễ thấy
(OA,OQ)=π2−(OA,OP), tức là
β=π2−α+k2π,k∈Z.
Vậy
asinx+bcosx=|→OQ|cos(x−β)
=|→OP|cos(x−π2+α)
=|→OP|sin(x+α)
