Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB//CD,AB>CD). Gọi E là giao điểm của AD và BC; M là trung điểm của AB; G là trọng tâm của tam giác ECD.
a) Chứng minh rằng các điểm S, E, M, G cũng thuộc một mặt phẳng và mặt phẳng này cắt cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) theo cùng một đường thẳng Δ.
b) Gọi C1 và D1 là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh SC, SD sao cho AD1 và BC1 cắt nhau tại K. Chứng minh các điểm S, K, E thẳng hàng và giao điểm O1 của AC1 với BD1 thuộc Δ.
Lời giải chi tiết
a) Gọi N là giao điểm của EM và CD. Do M là trung điểm của AB và AB // CD nên N cũng là trung điểm của CD; suy ra G thuộc EM, hay G∈mp(SEM), tức là các điểm S, E, M , G thuộc mp(SEM).
Gọi O là giao điểm của AC và BD thì đường thẳng MN đi qua O. Vậy ba mặt phẳng (SEM), (SAC) và (SBD) đều có chung hai điểm S và O nên SO chính là giao tuyến chung Δ của ba mặt phẳng trên.
b) Vì K thuộc AD1 và BC1 nên tương ứng K thuộc mp(SAD) và mp(SBC). Do đó K nằm trên giao tuyến SE của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Vậy ba điểm S, E, K thẳng hàng.
Điểm O1 nằm trên AC1 và BD1 nên O1 phải thuộc (SAC) và (SBD) (do AC1⊂(SAC),BD1⊂(SBD)). Từ đó, suy ra O1 phải thuộc giao tuyến Δ của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
