Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình F biến mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) sao cho:
\(\left\{ \matrix{
x' = ax + by + p \hfill \cr
y' = cx + dy + q \hfill \cr} \right.\)
Trong đó: \({a^2} + {c^2} = {b^2} + {d^2} = 1\,;\,ab + cd = 0\)
Chứng tỏ rằng F là phép dời hình.
Lời giải chi tiết
Ta lấy hai điểm bất kì \(M = \left( {{x_o};{y_o}} \right)\) và \(N\left( {{x_1};{y_1}} \right)\). Khi đó F biến M, N lần lượt thành M’, N’ có tọa độ:
\(M' = \left( {a{x_o} + b{y_o} + p;\,c{x_o} + d{y_o} + q} \right)\)
và \(N' = \left( {a{x_1} + b{y_1} + p;\,c{x_1} + d{y_1} + q} \right)\)
Suy ra:
\(\eqalign{
M'N{'^2} &= {\left[ {a\left( {{x_1} - {x_o}} \right) + b\left( {{y_1} - {y_o}} \right)} \right]^2} \cr&\;\;+ {\left[ {c\left( {{x_1} - {x_o}} \right) + d\left( {{y_1} - {y_o}} \right)} \right]^2} \cr
& = \left( {{a^2} + {c^2}} \right){\left( {{x_1} - {x_o}} \right)^2} \cr&\;\;+ \left( {{b^2} + {d^2}} \right){\left( {{y_1} - {y_o}} \right)^2}\cr& \;\;+ 2\left( {ab + cd} \right)\left( {{x_1} - {x_o}} \right)\left( {{y_1} - {y_o}} \right) \cr
& = {\left( {{x_1} - {x_o}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_o}} \right)^2} \cr
& = M{N^2} \cr} \)
Như vậy M’N’ = MN
Vậy F là phép dời hình.
