Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh rằng
AB2+CD2+AC2+BD2+BC2+AD2
=4(IJ2+HK2+EF2)
Lời giải chi tiết
Trước hết, ta chứng minh
AC2+BD2+BC2+AD2=AB2+CD2+4IJ2
Đặt →DA=→a,→DB=→b,→DC=→c
Ta có:
→IJ=→IA+→AD+→DJ=−→AB2+→AD+→DC2=−12(−→a+→b)+(−→a)+(→c2)=−→a−→b+→c2→AB2+→CD2+4→IJ2=(→b−→a)2+→c2+(→a+→b−→c)2=2→b2+2→a2+2→c2−2→a.→c−2→b.→c→AC2+→BD2+→BC2+→AD2=(→c−→a)2+→b2+(→c−→b)2+→a2=2→a2+2→b2+2→c2−2→a.→c−2→b.→c
Vậy, ta có:
AC2+BD2+BC2+AD2=AB2+CD2+4IJ2
Tương tự, ta có:
AC2+BD2+AB2+CD2
=BC2+AD2+4HK2
AB2+CD2+BC2+AD2
=AC2+BD2+4EF2
Từ đó suy ra:
AB2+CD2+AC2+BD2+BC2+AD2
=4(IJ2+HK2+EF2)
