Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ, đồ thị (C) của hàm số y=2x+1. Trên (C) lấy điểm A1 có hoành độ bằng 13. Qua A1 kẻ một đường thẳng song song với trục hoành cắt đường thẳng Δ chứa đường phân giác của góc phần tư thứ nhất tại điểm B1; gọi A2 là giao điểm của (C) với đường thẳng đi qua B1 và song song với trục tung. Với điểm A2, lại thực hiện các bước tương tự như đã làm với điểm A1 ta sẽ được điểm A3. Với điểm A3, lại làm như thế với điểm A4. Cứ tiếp tục mãi quá trình trên, ta sẽ được một dãy vô hạn các điểm A1,A2,A3,A4,... nằm trên đồ thị (C), (h.3.1)
Với mỗi số nguyên dương n, gọi un là hoành độ của điểm An. Hãy cho dãy số (un) bởi hệ thức truy hồi.
Lời giải chi tiết
- Phương trình của đường thẳng Δ:y=x
- Với mỗi n≥1, kí hiệu an và bn tương ứng là tung độ của điểm An và điểm Bn. Khi đó:
- Do An nằm trên (C) nên an=2un+1
- Do Bn nằm trên đường thẳng đi qua An và song song với trục hoành nên bn=an=2un+1
- Do Bn nằm trên đường thẳng đi qua An+1 và song song với trục tung nên hoành độ của nó bằng un+1
Từ đó, do Bn nằm trên Δ nên un+1=bn=2un+1 với mọi n≥1
Vậy, dãy số (un) được xác định bởi u1=13 và un+1=2un+1 với mọi n≥1
