Đề bài
Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD với AB=a,AC=2a√63AB=a,AC=2a√63. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại giao điểm tại O của hai đường chéo hình thoi, ta lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ASC vuông.
b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết
a) Ta có AC2+BD2=4a2,AC=2a√63AC2+BD2=4a2,AC=2a√63
nên BD2=4a23⇒OB2=a23BD2=4a23⇒OB2=a23
Xét tam giác vuông SOB, ta có
SO2=SB2−OB2=2a23⇒SO=a√63SO2=SB2−OB2=2a23⇒SO=a√63
Vậy tam giác SAC có trung tuyến SO bằng nửa AC nên SAC là tam giác vuông tại S.
b) Trong mặt phẳng (SOA) kẻ OA1 vuông góc với SA thì SA⊥mp(A1BD)SA⊥mp(A1BD), từ đó ^BA1DˆBA1D hoặc 1800−^BA1D1800−ˆBA1D, là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).
Ta có
OA1=OA.OSSA=OA.OS√OA2+OS2=12.a√63.√2=a√33
Mặt khác BD=2a√33, từ đó ^BA1D=900 hay hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
