Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\). Chứng minh rằng
LG a
Nếu \({u_n} \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {u_n} = + \infty \) thì \({{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} = + \infty \)
Lời giải chi tiết:
Suy ra từ định nghĩa của dãy số có giới hạn \( + \infty \)
LG b
Nếu \(\lim {u_n} = L \in R\) và \(\lim \left| {{v_n}} \right| = + \infty \) thì \(\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0\)
Lời giải chi tiết:
Vì \(\lim \left| {{v_n}} \right| = + \infty \) nên \(\lim {1 \over {{v_n}}} = 0.\) Do đó
\(\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = \lim \left( {{u_n}.{1 \over {{v_n}}}} \right) = \left( {\lim {u_n}} \right)\lim {1 \over {{v_n}}} = L.0 = 0\)
LG c
Nếu \(\lim {u_n} = + \infty \) (hoặc \( - \infty \)) và \(\lim {v_n} = L \in R\) thì \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = + \infty \) (hoặc \( - \infty \))
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(\lim {u_n} = + \infty \)và \(\lim {v_n} = L.\) Khi đó
\({u_n} + {v_n} = {u_n}\left( {1 + {{{v_n}} \over {{u_n}}}} \right)\)
Theo b), ta có \(\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0\). Vì \(\lim {u_n} = + \infty \) và \(\lim \left( {1 + {{{v_n}} \over {{u_n}}}} \right) = 1 > 0\) nên \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = + \infty \)
Nhận xét. Tương tự, có thể chứng minh được rằng
a) Nếu dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn (tức là tồn tại một số dương M sao cho \(\left| {{u_n}} \right| \le M\) với mọi n) và \(\lim \left| {{u_n}} \right| = + \infty \) thì \(\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0\)
b) Nếu \(\lim {u_n} = + \infty \)(hay \( - \infty \)) và \(\left( {{v_n}} \right)\) là một dãy số bị chặn thì
\(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = + \infty \) (hay \( - \infty \))
