Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các bất đẳng thức sau:
LG a
\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {3n + 1}} > 1\)
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh
\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {3n + 1}} > 1\) (1)
Với mọi \(n \in N^*,\) bằng phương pháp quy nạp.
Với \(n = 1,\) ta có
\({1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} = {{13} \over {12}} > 1.\)
Như vậy, (1) đúng khi \(n = 1.\)
Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in {N^ * }\), tức là
\({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} > 1,\)
Ta chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1,\) nghĩa là ta sẽ chứng minh
\({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}} > 1\)
Thật vậy, ta có
\({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}}\)
\( = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}}\)
\(- {1 \over {k + 1}}\)
\( = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {2 \over {3(k + 1)(3k + 2)(3k + 4)}}\)
\( > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} > 1\) (theo giả thiết quy nạp).
Từ các chứng trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in N^*\)
LG b
\({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2n + 1} \over {2n + 2}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}\)
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh
\({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2n + 1} \over {2n + 2}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}\)
Với mọi \(n \in N^*,\) bằng phương pháp quy nạp.
Với \(n = 1,\) ta có
\({1 \over 2}.{3 \over 4} = {3 \over 8} < {1 \over {\sqrt {3.1 + 4} }}\) ( vì \(9.7 = 63 < 64 = {8^2}\) ).
Như vậy, (2) đúng khi \(n = 1.\)
Giả sử có (2) đúng khi \(n = k,k \in {N^ * }\). Khi đó, ta có
\({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2k + 1} \over {2k + 2}}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}.{{2k + 3} \over {2k + 4}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)
Lại có : \({(2k + 3)^2}.(3k + 7) < {(2k + 3)^2}.(3k + 7) + k + 1\)
\(= (3k + 4){(2k + 4)^2}.\)
Do đó : \({1 \over {\sqrt {3n + 4} }}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3n + 7} }}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\)
Từ (3) và (4) suy ra
\({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2k + 1} \over {2k + 2}}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3k + 7} }},\)
Nghĩa là ta cũng có (2) đúng khi \(n = k + 1.\)
Từ các chứng minh trên suy ra (2) đúng với mọi \(n \in N^*\).
