Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các bất đẳng thức sau:
LG a
1n+1+1n+2+...+13n+1>1
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh
1n+1+1n+2+...+13n+1>1 (1)
Với mọi n∈N∗, bằng phương pháp quy nạp.
Với n=1, ta có
12+13+14=1312>1.
Như vậy, (1) đúng khi n=1.
Giả sử đã có (1) đúng khi n=k,k∈N∗, tức là
1k+1+1k+2+...+13k+1>1,
Ta chứng minh (1) cũng đúng khi n=k+1, nghĩa là ta sẽ chứng minh
1k+1+1k+2+...+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4>1
Thật vậy, ta có
1k+1+1k+2+...+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4
=1k+1+1k+2+...+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4
−1k+1
=1k+1+1k+2+...+13k+1+23(k+1)(3k+2)(3k+4)
>1k+1+1k+2+...+13k+1>1 (theo giả thiết quy nạp).
Từ các chứng trên suy ra (1) đúng với mọi n∈N∗
LG b
12.34.56...2n+12n+2<1√3n+4
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh
12.34.56...2n+12n+2<1√3n+4
Với mọi n∈N∗, bằng phương pháp quy nạp.
Với n=1, ta có
12.34=38<1√3.1+4 ( vì 9.7=63<64=82 ).
Như vậy, (2) đúng khi n=1.
Giả sử có (2) đúng khi n=k,k∈N∗. Khi đó, ta có
12.34.56...2k+12k+2.2k+32k+4<1√3n+4.2k+32k+4(3)
Lại có : (2k+3)2.(3k+7)<(2k+3)2.(3k+7)+k+1
=(3k+4)(2k+4)2.
Do đó : 1√3n+4.2k+32k+4<1√3n+7.(4)
Từ (3) và (4) suy ra
12.34.56...2k+12k+2.2k+32k+4<1√3k+7,
Nghĩa là ta cũng có (2) đúng khi n=k+1.
Từ các chứng minh trên suy ra (2) đúng với mọi n∈N∗.
