Giải các phương trình sau:
LG a
\(\tan \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + \cot \left( {{\pi \over 6} - 3x} \right) = 0\)
Lời giải chi tiết:
Biến đổi phương trình đã cho như sau:
\(\tan \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + \cot \left( {{\pi \over 6} - 3x} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \tan \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + \tan \left( {3x + {\pi \over 3}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {{\sin \left( {4x + {{2\pi } \over 3}} \right)} \over {\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right)\cos \left( {3x + {\pi \over 3}} \right)}} = 0\)
Vậy với điều kiện \(\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \ne 0\) và \(\cos \left( {3x + {\pi \over 3}} \right) \ne 0\), phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\sin \left( {4x + {{2\pi } \over 3}} \right) = 0\Leftrightarrow x = - {\pi \over 6} + {{k\pi } \over 4}\) Có thể thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp.
Chẳng hạn, ta có
\(\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) = \cos \left( { - {\pi \over 6} + k{\pi \over 4} + {\pi \over 3}} \right) \)
\(= \cos \left( {{\pi \over 6} + k{\pi \over 4}} \right) \ne 0\)
LG b
\(\tan \left( {2x - {{3\pi } \over 4}} \right) + \cot \left( {4x - {{7\pi } \over 8}} \right) = 0\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức \(\tan a + \cot b = {{\cos \left( {a - b} \right)} \over {\cos a.\sin b}},\) ta biến đổi phương trình đã cho như sau:
\(\tan \left( {2x - {{3\pi } \over 4}} \right) + \cot \left( {4x - {{7\pi } \over 8}} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow {{\cos \left( {x + {{13\pi } \over 8}} \right)} \over {\cos \left( {2x - {{3\pi } \over 4}} \right)\sin \left( {4x + {{7\pi } \over 8}} \right)}} = 0\)
Do đó với điều kiện \(\cos \left( {2x - {{3\pi } \over 4}} \right) \ne 0\) và \(\sin \left( {4x + {{7\pi } \over 8}} \right) \ne 0,\) phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\cos \left( {2x + {{13\pi } \over 8}} \right) = 0\Leftrightarrow x = - {{9\pi } \over {16}} + k{\pi \over 2} \)
Thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp.
LG c
\(\tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right).\tan \left( {x - {\pi \over 2}} \right) = 1\)
Lời giải chi tiết:
Biến đổi phương trình đã cho như sau:
\(\eqalign{
& \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right).\tan \left( {\pi - {x\over 2}} \right) = 1\cr& \Leftrightarrow \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) = \cot \left( { - {x \over 2}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) + \cot {x \over 2} = 0\cr& \Leftrightarrow {{\cos \left( {{{3x} \over 2} + {\pi \over 3}} \right)} \over {\cos \left( {2x + {\pi \over 3}} \right)\sin {x \over 2}}} = 0 \cr} \)
Do đó, với điều kiện \(\cos \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) \ne 0\) và \(\sin {x \over 2} \ne 0\), phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\cos \left( {{{3x} \over 2} + {\pi \over 3}} \right) = 0\Leftrightarrow x = {\pi \over 9} + k{{2\pi } \over 3}\)
Thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp.
LG d
\(\sin 2x + 2\cot x = 3\)
Lời giải chi tiết:
Sử dụng công thức \(\sin 2x = {{2\tan x} \over {1 + {{\tan }^2}x}},\) ta có:
\(\sin 2x + 2\cot x = 3 \)
\(\Leftrightarrow {{2\tan x} \over {1 + {{\tan }^2}x}} + {2 \over {\tan x}} = 3\)
Giải tiếp phương trình này với điều kiện \(\tan x \ne 0\) ta được: \(x = {\pi \over 4} + k\pi \)
