Chứng minh rằng:
LG a
Hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau là một phép quay.
Lời giải chi tiết:
Giả sử cho hai phép đối xứng trục Đa và Đb có trục a và b cắt nhau tại O, còn F là hợp thành của Đa và Đb.
Lấy hai điểm A, B khác O lần lượt nằm trên a, b sao cho góc AOB không bù và đặt φ=(OA,OB).
(Chú ý rằng khi đó |φ|=^AOB là góc hợp bởi hai đường thẳng a và b).
Với mọi điểm M khác O, giả sử Đa biến M thành M1 và Đb biến M1 thành M2. Khi đó, nếu gọi H và K lần lượt là trung điểm của MM1 và M1M2 thì có:
OM=OM1=OM2
Và (OM,OM2)=(OM,OM1)+(OM1,OM2)
=2(OH,OM1)+2(OM1,OK)=2(OH,OK)=2φ
Vậy phép hợp thành F là phép quay tâm O góc quay 2φ
LG b
Mỗi phép quay đều có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau, bằng nhiều cách.
Lời giải chi tiết:
Giả sử Q là phép quay tâm O góc quay φ.
Ta lấy đường thẳng a nào đó đi qua O và b là ảnh của a qua phép quay tâm O góc quay φ2 thì hợp thành của hai phép đối xứng trục Đa và Đb chính là phép quay Q (theo câu a).
Hiển nhiên có thể chọn a bằng nhiều cách khác nhau.
LG c
Hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép quay.
Lời giải chi tiết:
Nếu F là hợp thành của 2n phép đối xứng có trục đối xứng đồng quy tại O thì F là hợp thành của n phép quay có tâm O và do đó F là một phép quay.
LG d
Hợp thành của một số lẻ các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép đối xứng trục.
Lời giải chi tiết:
Giả sử F là hợp thành của 2n + 1 phép đối xứng trục có các trục đều đi qua O.
Gọi Đa là phép đối xứng đầu tiên, thì 2n phép đối xứng trục còn lại có hợp thành là phép quay Q tâm O.
Ta xem Q là hợp thành của hai phép đối xứng trục, trong đó phép thứ nhất là Đa và phép thứ hai là Đb.
Như vậy, F là hợp thành của ba phép đối xứng trục: Đa, Đa và Đb.
Vậy F chính là phép đối xứng trục Đb.
