Đề bài
Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và P là điểm nằm trong tam giác. Gọi A’, B’, C’ là các điểm đối xứng với điểm P lần lượt qua các đường thẳng AI, BI, CI. Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Lời giải chi tiết
Ta xét trường hợp P nằm trong góc BAI.
Gọi PA,PB,PC là các điểm đối xứng với P lần lượt qua các đường thẳng BC, CA, AB.
Ta chứng minh rằng AA’ là đường trung trực của đoạn thẳng PBPC.
Thật vậy, nếu ta kí kiệu ^PAB=α,^PAI=β, ta có:
^PCAA′=^PCAP+^PAA′=2α+2β
Và
^A′APB=^A′AC+^CAPB=^A′AC+^CAP=α+α+2β=2α+2β.
Vậy ^PCAA′=^A′APB
Ngoài ra, hiển nhiên APC=APB.
Suy ra AA’ là đường trung trực của đoạn thẳng PBPC.
Chứng minh tương tự, ta cũng có BB’ là đường trung trực của đoạn thẳng PCPA và CC’ là đường trung trực của đoạn thẳng PCPA và CC’ là đường trung trực của đoạn thẳng PAPB.
Suy ra AA’, BB’, CC’ đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PAPBPC.
Trường hợp P nằm trong góc CAI, lập luận tương tự.
