Đề bài
Tìm a để tồn tại hàm số:
f(x)=4x3−6x2cos2a+3xsin2asin6a
+√2a−1−a2 (a là hằng số)
Với giá trị của số a đó, hãy xét dấu của f′(12)
Lời giải chi tiết
Ta nhận thấy
2a−1−a2≥0⇔(a−1)2≤0⇔a=1
Vậy :
∙ Khi a≠1 thì không tồn tại hàm số f(x) với bất kì x∈R, do đó không tồn tại f′(12).
∙ Khi a=1 thì tồn tại hàm số f(x) xác định với mọi x∈R và
f(x)=4x3−6x2cos2+3xsin2sin6
Ta có f′(x)=12x2−12cos2+3xsin2sin6
f′(12)=3−6cos2+3sin2sin6
=3(1−2cos2+sin2sin6)
Vì π2<2<π nên cos2<0, suy ra
1−2cos2>1(1)
Mặt khác |sin2sin6|≤1, suy ra
sin2sin6≥−1(2)
Từ (1) và (2) suy ra
1−2cos2+sin2sin6>0⇔f′(12)>0
