Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau:
1.2+2.5+...+n.(3n−1)=n2(n+1)
Lời giải chi tiết
Ta sẽ chứng minh
1.2+2.5+...+n(3n−1)=n2(n+1) (1)
Với mọi n∈N∗, bằng phương pháp quy nạp.
Với n=1, ta có 1.2=2=12.(1+1). Như vậy, (1) đúng khi n=1.
Giả sử (1) đúng khi n=k,k∈N∗ tức là giải sử đã có
1.2+2.5+...+k(3k−1)=k2(k+1)
Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi n=k+1, nghĩa là ta sẽ chứng minh
1.2+2.5+...+k.(3k−1)+(k+1)(3k+2)
=(k+1)2.(k+2)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
1.2+2.5+...+k.(3k−1)+(k+1)(3k+2)=k2.(k+1)+(k+1)(3k+2)=(k+1)(k2+3k+2)=(k+1)(k+1)(k+2)=(k+1)2.(k+2)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n∈N∗.
