Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau:
\(1.2 + 2.5 + ... + n.\left( {3n - 1} \right) = {n^2}\left( {n + 1} \right)\)
Lời giải chi tiết
Ta sẽ chứng minh
\(1.2 + 2.5 + ... + n\left( {3n - 1} \right) = {n^2}\left( {n + 1} \right)\) (1)
Với mọi \(n \in N^*,\) bằng phương pháp quy nạp.
Với \(n = 1,\) ta có \(1.2 = 2 = {1^2}.\left( {1 + 1} \right).\) Như vậy, (1) đúng khi \(n = 1.\)
Giả sử (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) tức là giải sử đã có
\(1.2 + 2.5 + ... + k\left( {3k - 1} \right) = {k^2}\left( {k + 1} \right)\)
Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1,\) nghĩa là ta sẽ chứng minh
\(1.2 + 2.5 + ... + k.\left( {3k - 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right) \)
\(= {\left( {k + 1} \right)^2}.\left( {k + 2} \right)\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
\(\eqalign{
& 1.2 + 2.5 + ... + k.\left( {3k - 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right) \cr&= {k^2}.\left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right) \cr
& = \left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 3k + 2} \right) \cr
& = \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = {\left( {k + 1} \right)^2}.\left( {k + 2} \right) \cr} \)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in N^*.\)
