Đề bài
Cho hàm số
\(f\left( x \right) = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}}\left( {x \ne {\pi \over 2} + k\pi ;k \in Z} \right)\)
Chứng minh rằng
\(f'\left( x \right) = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\)
Lời giải chi tiết
Vì \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z\) nên \(\cos x \ne 0.\) Xét hai trường hợp
+ Nếu \(\cos x > 0\) thì
\(f\left( x \right) = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}} = {1 \over {\cos x}}\)
Suy ra
\(f'\left( x \right) = - {{\left( { - \sin x} \right)} \over {{{\cos }^2}x}} = {{\sin x} \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {\cos x}}.\tan x = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\,\,\left( 1 \right)\)
Nếu \(\cos x < 0\) thì
\(f\left( x \right) = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}} = -{1 \over {\cos x}}\)
Suy ra
\(f'\left( x \right) = - {{ - \sin x} \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {\cos x}}.\tan x = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(f'\left( x \right) = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\left( {x \ne {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z} \right).\)
