Đề bài
Cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_{17}} - {u_{20}} = 9\) và \(u_{17}^2 + u_{20}^2 = 153\). Hãy tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
Lời giải chi tiết
Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng đã cho. Ta có
\(\eqalign{
& 9 = {u_{17}} - {u_{20}} = \left( {{u_1} + 16d} \right) - \left( {{u_1} + 19d} \right) = - 3d \cr&\Rightarrow d = - 3 \cr
& 153 = {\left( {{u_{17}}} \right)^2} + {\left( {{u_{20}}} \right)^2} \cr&\;\;\;\;\;\;\,= {1 \over 2}\left[ {{{\left( {{u_{17}} - {u_{20}}} \right)}^2} + {{\left( {{u_{17}} + {u_{20}}} \right)}^2}} \right] \cr&\;\;\;\;\;\;\,= {1 \over 2}\left[ {{9^2} + {{\left( {{u_{17}} + {u_{20}}} \right)}^2}} \right] \cr} \)
\( \Rightarrow {\left( {{u_{17}} + {u_{20}}} \right)^2} = 2 \times 153 - 81 = 225 = {15^2}\). Xảy ra các trường hợp :
\( - \) Trường hợp 1: \({u_{17}} + {u_{20}} = 15\). Khi đó
\(15 = \left( {{u_1} + 16d} \right) + \left( {{u_1} + 19d} \right) \)
\(= 2{u_1} + 35d = 2{u_1} + 35.( - 3) = 2{u_1} - 105 \)
\(\Rightarrow {u_1} = 60.\)
\( - \) Trường hợp 2: \({u_{17}} + {u_{20}} = - 15\). Khi đó
\( - 15 = \left( {{u_1} + 16d} \right) + \left( {{u_1} + 19d} \right) = 2{u_1} + 35d \)
\(= 2{u_1} + 35.( - 3)= 2{u_1} - 105 \)
\(\Rightarrow {u_1} = 45.\)
Vậy, cấp số cộng đã cho có \({u_1} = 60\) và \(d = - 3\) , hoặc \({u_1} = 45\) và \(d = - 3\).
