Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. ˆA=1200,BD=a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy là 60°. Tính:
a) Đường cao của hình chóp.
b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCB).
Lời giải chi tiết
a) Vì ABCD là hình thoi và ^BAD=1200 nên ABC là tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC thì BC⊥(AIS).
Mặt khác SAI là tam giác vuông tại A nên ^SIA là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy (ABCD). Theo giả thiết ^SIA=600.
Ta có BD2+AC2=4AB2.
mà AC = AB nên
AB=BD√3=a√3⇒AI=a√3.√32=a2.
Vì SA⊥(ABCD) nên SA là đường cao của hình chóp S.ABCD. Ta có :
SA=AI.tan600.
Vậy SA=a2√3.
b) Ta có BC⊥(SAI), từ đó (SAI)⊥(SBC). Vậy nếu kẻ đường cao AH của tam giác SAI thì AH là khoảng cách từ A đến mp(SBC). Xét tam giác vuông SAI ta có:
AH=SA.AISI=a√32.a2√3a24+a24=a√34.
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCB) bằng a√34.
