Đề bài
Tam giác có ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC.
Xây dựng dãy các tam giác A1B1C1,A2B2C2,A3B3C3,... sao cho tam giác A1B1C1 là một tam giác đều cạnh 1 và với mỗi số nguyên n≥2, tam giác AnBnCn là tam giác trung của tam giác An−1Bn−1Cn−1.
Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu rn tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác AnBnCn.
Chứng minh rằng dãy số (rn) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
Lời giải chi tiết
Từ định nghĩa tam giác trung bình suy ra mỗi cạnh tam giác An+1Bn+1Cn+1 là một đường trung bình của tam giác AnBnCn. Vì thế, giả thiết tam giác A1B1C1 là tam giác đều suy ra AnBnCn là tam giác đều với mọi n≥1. Từ đó kí hiệu an là độ dài cạnh của tam giác AnBnCn, ta có
rn+1=an+1√3=an2.√3=rn2 với mọi n≥1.
Do đó, dãy số (rn) là một cấp số nhân với công bội q=12 và số hạng đầu
r1=a1√3=1√3.
Theo định lí về số hạng tổng quát của một cấp số nhân, ta có số hạng tổng quát của cấp số nhân nói trên là :
rn=r1×qn−1=1√3×(12)n−1=1√3.2n−1.
