Đề bài
Số đo của một trong các góc của tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình
sin3x+sinxsin2x−3cos3x=0
Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.
Lời giải chi tiết
Giả sử một góc của tam giác vuông ABC có số đo độ thỏa mãn phương trình đã cho.
Ta viết phương trình đã cho thành
sin3x+2sin2xcosx−3cos3x=0 (1)
(0o<x≤90o)
Dễ thấy x=90o không phải nghiệm của phương trình, vậy cosx≠0
Chia 2 vế phương trình cho cos3x được :
(1)⇔tan3x+2tanx−3=0
⇔(tanx−1)(tan2x+3tanx+3)=0
Vì phương trình tan2x+3tanx+3=0 vô ngiệm , nên (1)⇔tanx=1.
Kết hợp với điều kiện 0o<x<90o ta thấy chỉ có x=45o là thỏa mãn.
Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác vuông cân.
