Đề bài
Trong mp(P) cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Hai điểm A, B nằm ngoài mp(P) và đường thẳng AB cắt mp(P) tại C sao cho C∉a,C∉b. Một mặt phẳng (Q) thay đổi luôn đi qua AB và cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại A1 và B1
a) Chứng minh rằng đường thẳng A1B1 luôn đi qua một điểm cố định.
b) Gọi I là giao điểm của AA1 và BB1, J là giao điểm của AB1 và BA1. Chứng minh rằng mỗi điểm I và J chạy trên một đường thẳng cố định.
c) Chứng minh rằng đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải chi tiết
a) Mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (P) có ba điểm chung là A1,B1 và C nên ba điểm đó phải thẳng hàng; tức là đường thẳng A1B1 luôn đi qua điểm cố định C.
b) Ta có:
I∈AA1AA1⊂mp(A,a)}⇒I∈mp(A,a)I∈BB1BB1⊂mp(B,b)}⇒I∈mp(B,b).
Từ đó, suy ra I thuộc giao tuyến Δ1 của hai mặt phẳng (B, b) và (A, a). Do hai mặt phẳng này cố định nên đường thẳng Δ1 cố định.
Chứng minh tương tự, điểm J chạy trên đường thẳng cố định Δ2 là giao tuyến của hai mặt phẳng cố định mp(A, b) và mp(B, a). Chú ý Δ1,Δ2 đều đi qua O).
c) Hai đường thẳng IJ, AB đều thuộc mp(Q) và chúng không thể song song nên chúng cắt nhau tại một điểm K.
Ta có:
K∈IJIJ⊂mp(Δ1,Δ2)}⇒K∈mp(Δ1,Δ2).
Mặt khác K thuộc AB. Do đó K chính là giao điểm của đường thẳng cố định AB với mp(Δ1,Δ2) cố định nên K cố định.
Vậy đường thẳng IJ luôn đi qua điểm K cố định.
