Cho dãy số (un) xác định bởi u1=1 và un+1=√u2n+2 với mọi n≥1.
LG a
Chứng minh rằng dãy số (un), mà vn=u2n với mọi n≥1, là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
Lời giải chi tiết:
Từ hệ thức xác định dãy số (un) suy ra với mọi n≥1
u2n+1=u2n+2, hay vn+1=vn+2.
Do đó, dãy số (vn) là một cấp số cộng với số hạng đầu v1=u21=1 và công sai d=2.
LG b
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (un).
Lời giải chi tiết:
Từ định nghĩa dãy số (un) và dãy số (vn) dễ dàng suy ra un>0 và vn>0 với mọi n≥1. Từ đó, ta có un=√vn với mọi n≥1.
Từ kết quả phần a) suy ra : vn=1+(n−1).2=2n−1(∀n≥1). Vì thế
un=√2n−1(∀n≥1).
LG c
Tính tổng S=u21+u22+u23+....+u21001.
Lời giải chi tiết:
S=u21+u22+u23+....+u21001
=v1+v2+v3+...+v1001
=1001.(2.1+(1001−1).2)2=1002001.
