Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, đường chéo AC = 4a, đường chéo BD = 2a; O là giao điểm của AC với BD và SO vuông góc với mặt phẳng (ABC), SO = h. Một mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC tại điểm C1. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và h để điểm C1 nằm trong đoạn thẳng SC, C1 khác S và khác C. Khi đó, tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(α).
Lời giải chi tiết
Vì (α)⊥SC và A∈(α) nên AC1⊥SC. Mặt khác, gọi B1D1=(α)∩(SBD) thì B1D1 song song với BD và B1D1 qua O1=AC1∩SO (do BD⊥SC,(α)⊥SC nên BD // (α)).
Vì SAC là tam giác cân tại S và AC1⊥SC nên C1 thuộc SC khi và chỉ khi ^ASC<900 tức là ^OSC<450. Xét tam giác vuông SOC, điều kiện ^OSC<450 tương đương với SO>OC=AC2=2a. Vậy để C1 thuộc SC, C1 không trùng với C và S thì hệ thức liên hệ giữa h và a là h > 2a.
Dễ thấy thiết diện của S.ABCD khi cắt bởi (α) là tứ giác AB1C1D1 có tính chất AC1⊥B1D1 . Do đó SAB1C1D1=12AC1.B1D1.
Ta có:
AC1.SC=SO.AC⇒AC1=4ah√4a2+h2;B1D1BD=SO1SO,
mặt khác
O1OCO=AOSO⇒O1O=4a2h⇒SO1=h2−4a2h
Từ đó B1D1BD=h2−4a2h2
hay B1D1=2a(h2−4a2)h2
Vậy
SAB1C1D1=12.4ah√4a2+h2.2a(h2−4a2)h2=4a2(h2−4a2)h√4a2+h2
