Cho dãy số (un) xác định bởi
{u1=aun+1=un+1√u2n+1−1(1)
Trong đó −1<a<0.
LG a
Chứng minh rằng −1<un<0. với mọi n và (un) là một dãy số giảm
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Theo giả thiết, điều khẳng định đúng với n=1. Giả sử điều khẳng định đúng với n , tức là
−1<un<0(2)
Ta chứng minh nó đúng với n+1. Thật vậy, từ (2) suy ra
0<un+1+1<1;
Do đó
0<un+1√u2n+1<1
Và
−1<un+1√u2n+1−1<0,
Tức là
−1<un+1<0.
Vì −1<un<0 nên un+1>0 và u2n>0 với mọi n . Do đó từ (1) suy ra un+1<(un+1)−1=un với mọi n.
Vậy (un) là một dãy số giảm.
LG b
Chứng minh rằng
−1<un+1+1≤1√a2+1(un+1) với mọi n.
Tìm lim
Lời giải chi tiết:
Từ đẳng thức (1) suy ra
{u_{n + 1}} + 1 = {1 \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }}\left( {{u_n} + 1} \right) với mọi n.
Từ đó suy ra
\left| {{u_n}} \right| \ge \left| a \right| \Leftrightarrow u_n^2 \ge {a^2};
Do đó
{1 \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }} với mọi n
Và từ (3), ta có
{u_{n + 1}} + 1 \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\left( {{u_n} + 1} \right) với mọi n.
Đặt {v_n} = {u_n} + 1 và q = {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}, ta có 0 < q < 1,{v_n} > 0 và
{v_{n + 1}} \le q{v_n} với mọi n.
Từ đó ta có
\eqalign{ & {v_2} \le {v_1}q = \left( {a + 1} \right)q, \cr & {v_3} \le {v_2}q = \left( {a + 1} \right){q^2},..., \cr & 0 \le {v_n} \le \left( {a + 1} \right){q^{n - 1}} \cr}
Với mọi n . Vì \lim \left( {a + 1} \right).{q^{n - 1}} = \left( {a + 1} \right)\lim {q^{n - 1}} = 0 nên từ đó suy ra
\lim {v_n} = 0 và \lim {u_n} = - 1.
