Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy SA = a. Tính:
a) Khoảng cách từ điểm S đến mp(A1CD) trong đó A1 là trung điểm của SA;
b) Khoảng cách giữa AC và SD.
Lời giải chi tiết
a) Ta có CD⊥(SAD) nên (CDA1)⊥(SAD). Từ đó, khi kẻ đường cao SH của tam giác SA1D thì:
SH⊥mp(CDA1).
và SH=d(S;mp(CDA1)).
Ta có
SH.A1D=2SSA1D=SSAD=a22A1D=√a2+a24=a√52
Vậy SH=a22.2a√5=a√5=a√55.
Kẻ qua D đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AB tại B', khi đó B′D=a√2,AB′=a,SB′=a√2,SD=a√2.
Vậy SB’D là tam giác đều. Gọi I là trung điểm của SB’ thì:
DI=a√62,SB′⊥(AID).
từ đó (AID)⊥(SB′D).
Vậy khi kẻ đường cao AK của tam giác AID thì AK là khoảng cách từ A đến mp(SB’D). Mặt khác AC // (SB’D) nên AK cũng là khoảng cách giữa AC và SD.
Ta có AI=a√22,AD=a
Vì AD⊥(SAB) nên AD⊥AI.
Do đó AK=AI.ADDI=a√22.aa√62=a√3.
Vậy khoảng cách giữa AC và SD bằng a√33.
