Đề bài
Giải phương trình:
(2sinx−1)(2sin2x+1)=3−4cos2x
Lời giải chi tiết
(2sinx−1)(2sin2x+1)=3−4cos2x
⇔4sinxsin2x+2sinx−2sin2x−1=3−4cos2x
⇔4sin2xcosx+sinx−2sinxcosx+2cos2x−2=0
⇔4sin2xcosx+sinx−2sinxcosx−2sin2x=0
⇔sinx[4sinxcosx+1−2(sinx+cosx)]=0
+) sinx=0⇔x=kπ
+) 4sinxcosx+1−2(sinx+cosx)=0
Để giải phương trình (2), ta đặt t=sinx+cosx với |t|≤√2.
Khi đó 2sinxcosx=t2−1 và từ phương trình (2) ta có phương trình 2t2−2t−1=0 với ẩn t.
Phương trình này có hai nghiệm t1=1−√32,t1=1+√32.
Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện |t|≤√2.
Do đó
(2)⇔[sinx+cosx=t1sinx+cosx=t2
sinx+cosx=t1⇔cos(x−π4)=1−√32√2
⇔x=π4±α+k2π với cosα=1−√32√2.
sinx+cosx=t1⇔cos(x−π4)=1+√32√2
⇔x=π4±β+k2π với cosβ=1+√32√2.
Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm x=kπ,x=π4±α+2kπ và x=π4±β+2kπ với α và β là các số thỏa mãn cosα=1−√32√2 và cosβ=1+√32√2
(chẳng hạn α=arccos1−√32√2,β=arccos1+√32√2).
