Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a. Tính:
a) Các góc giữa các mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp.
b) Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp.
Lời giải chi tiết
a) Dễ thấy
(SAB)⊥(ABCD)(SAD)⊥(ABCD)
nên góc giữa mặt bên (SAB) và (SAD) với mp(ABCD) bằng 90°.
Ta có (SDA)⊥CD và SDA là tam giác vuông tại A nên ^SDA là góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (ABCD).
Từ đó: tan^SDA=12
Tương tự, tan^SBA=1⇔^SBA=450.
Vậy mp(SCD) tạo với mp(ABCD) góc bằng φ mà tanφ=12 và mp(SBC) tạo với mp(ABCD) góc 45°.
b) Vì (SAD)⊥(SAB) nên góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90°.
Ta cũng có CD⊥(SAD) nên (SCD)⊥SAD. Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng 90°. Tương tự, ta cũng có góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 90°.
Ta cần phải tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC).
Trong mp(ABCD), kẻ A qua đường thẳng vuông góc với AC, nó cắt hai đường thẳng BC và DC lần lượt tại I và J, thì IJ⊥SC.
Trong mp(SAC) kẻ AC1⊥SC thì (IJC1)⊥SC .
Do đó, ^IC1J hoặc 1800−^IC1J là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Ta có:
AJ=ACtan^ACD=2a√51AC21=1AS2+1AC2=1a2+15a2=65a2⇒AC1=a√5√6
Đặt ^AC1J=α thì tanα=AJAC1=2a√5a√5√6=2√6
Đặt ^AC1I=β thì tanβ=AIAC1=ACtan^ACIAC1=a√5.12a√5√6=√62
Đặt ^IC1J=φ thì tanφ=2√6+√621−2√6.√62=−√62
Vậy góc giữa mp(SBC) và (SCD) là 1800−φ mà tanφ=−√62.
