Đề bài
Cho elip (E) với hai tiêu điểm F1 và F2 . Gọi M là một điểm nằm trên (E) nhưng không nằm trên đường thẳng F1F2 và m là phân giác ngoài tại đỉnh M của tam giác MF1F2.
Chứng minh rằng m chỉ cắt (E) tại điểm M duy nhất (đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (E) tại điểm M).
Lời giải chi tiết
Giả sử elip (E) có trục lớn là 2a, tức là điểm M nằm trên (E) khi và chỉ khi:
MF1+MF2=2a
Theo chứng minh bài tập 24, nếu M’ nằm trên phân giác m thì:
M′F1+M′F2≥MF1+MF2=2a.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M’ trùng M. Vậy nếu M’ khác M thì M’ không nằm trên (E).
Từ đó, suy ra m cắt (E) tại điểm duy nhất M.
