Đề bài
Cho elip (E) với hai tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) . Gọi M là một điểm nằm trên (E) nhưng không nằm trên đường thẳng \({F_1}{F_2}\) và m là phân giác ngoài tại đỉnh M của tam giác \(M{F_1}{F_2}\).
Chứng minh rằng m chỉ cắt (E) tại điểm M duy nhất (đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (E) tại điểm M).
Lời giải chi tiết
Giả sử elip (E) có trục lớn là 2a, tức là điểm M nằm trên (E) khi và chỉ khi:
\(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)
Theo chứng minh bài tập 24, nếu M’ nằm trên phân giác m thì:
\(M'{F_1} + M'{F_2} \ge M{F_1} + M{F_2} = 2a.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M’ trùng M. Vậy nếu M’ khác M thì M’ không nằm trên (E).
Từ đó, suy ra m cắt (E) tại điểm duy nhất M.
