Giải bài 1.44 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

180 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

$\tan {x \over 2}\cos x - \sin 2x = 0$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Với điều kiện $\cos {x \over 2} \ne 0,$ ta biến đổi phương trình đã cho thành

$\cos x\left( {\tan {x \over 2} - 2\sin x} \right) = 0$ hay $\cos x\sin {x \over 2}\left( {1 - 4{{\cos }^2}{x \over 2}} \right) = 0$

Lời giải chi tiết:

ĐK: $\cos {x \over 2} \ne 0$ . Khi đó,

$\tan {x \over 2}\cos x - \sin 2x = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2}\cos x - 2\sin x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {\tan \frac{x}{2} - 2\sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos x.\left( {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}} - 4\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\sin \frac{x}{2}\left( {\frac{1}{{\cos \frac{x}{2}}} - 4\cos \frac{x}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\sin \frac{x}{2}\left( {1 - 4{{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\sin \frac{x}{2}\left( {1 - 4.\frac{{1 + \cos x}}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\sin \frac{x}{2}\left( { - 1 - 2\cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \sin \frac{x}{2} = 0\\ \cos x = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = k2\pi \\ x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = \pm {{2\pi } \over 3} + 2k\pi ,x = 2k\pi ,x = {\pi \over 2} + k\pi$

LG b

${\sin ^6}x + 3{\sin ^2}x\cos 4x + {\cos ^6}x = 1$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Áp dụng hằng đẳng thức dễ thấy:

${a^6} + {b^6} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^3} - 3{a^2}{b^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

$x = {{k\pi } \over 2}$

Ta có:

$\eqalign{ & {\sin ^6}x + 3{\sin ^2}x\cos 4x + {\cos ^6}x = 1 \cr & \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} \cr&- 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\cr& + 3{\sin ^2}x\cos x = 1 \cr & \Leftrightarrow - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x\cos x = 0 \cr}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x\cos x\left( {1 - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\ \cos x = 0\\ \cos x = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2} \end{array}$

LG c

${\sin ^3}x\cos x - \sin x{\cos ^3}x = {{\sqrt 2 } \over 8}$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: ${\sin ^3}x\cos x - \sin x{\cos ^3}x = {{\sqrt 2 } \over 8}$

$\Leftrightarrow \sin x\cos x\left( {{{\sin }^2}x-{{\cos }^2}x} \right) = {{\sqrt 2 } \over 8}$

$\Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 2x\cos 2x = - {{\sqrt 2 } \over 8}$

Lời giải chi tiết:

${\sin ^3}x\cos x - \sin x{\cos ^3}x = {{\sqrt 2 } \over 8}$

$\Leftrightarrow \sin x\cos x\left( {{{\sin }^2}x-{{\cos }^2}x} \right) = {{\sqrt 2 } \over 8}$

$\Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 2x\cos 2x = - {{\sqrt 2 } \over 8}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{4}\sin 4x = - \frac{{\sqrt 2 }}{8}\\ \Leftrightarrow \sin 4x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ 4x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{2}\\ x = \frac{{5\pi }}{{16}} + \frac{{k\pi }}{2} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = - {\pi \over 16} + {{k\pi } \over 2},x = {{5\pi } \over {16}} + {{k\pi } \over 2}$

LG d

${\sin ^2}x + \sin x\cos 4x + {\cos ^2}4x = {3 \over 4}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & {\sin ^2}x + \sin x\cos 4x + {{{{\cos }^2}4x} \over 4} + {3 \over 4}{\cos ^2}4x = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow {\left( {\sin x + {1 \over 2}\cos 4x} \right)^2} = {3 \over 4}\left( {1 - {{\cos }^2}4x} \right)\cr& \Leftrightarrow {\left( {\sin x + {1 \over 2}\cos 4x} \right)^2} = {3 \over 4}{\sin ^2}4x \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin x + {1 \over 2}\cos 4x = {{\sqrt 3 } \over 2}\sin 4x \hfill \cr \sin x + {1 \over 2}\cos 4x = - {{\sqrt 3 } \over 2}\sin 4x \hfill \cr} \right. \cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos {\pi \over 6}\sin 4x - \sin {\pi \over 6}\cos 4x = \sin x \hfill \cr \sin {\pi \over 6}\cos 4x + \cos {\pi \over 6}\sin 4x = \sin \left( { - x} \right) \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin \left( {4x - {\pi \over 6}} \right) = \sin x \hfill \cr \sin \left( {4x + {\pi \over 6}} \right) = \sin \left( { - x} \right) \hfill \cr} \right. \cr}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x - \frac{\pi }{6} = x + k2\pi \\ 4x - \frac{\pi }{6} = \pi - x + k2\pi \\ 4x + \frac{\pi }{6} = - x + k2\pi \\ 4x + \frac{\pi }{6} = \pi + x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\ x = \frac{{7\pi }}{{30}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\ x = - \frac{\pi }{{30}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\ x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = {\pi \over {18}} + k{{2\pi } \over 3},x = {{7\pi } \over {30}} + k{{2\pi } \over 5},$ $x = - {\pi \over {30}} + k{{2\pi } \over 5},x = {{5\pi } \over {18}} + k{{2\pi } \over 3}$ .

SBT Toán lớp 11 Nâng cao