Đề bài
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(DBC). Gọi AE, BF là hai đường cao của tam giác ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC. Chứng minh rằng:
a) mp(ADE)⊥mp(ABC) và mp(BFK)⊥mp(ABC).
b) HK⊥mp(ABC)
Lời giải chi tiết
a) Vì AD⊥(DBC) nên AD⊥BC.
Mặt khác AE⊥BC. Vậy BC⊥(ADE), từ đó ta có (ABC)⊥(ADE).
Vì K là trực tâm tam giác DBC nên BK⊥AC. Theo giả thiết AD⊥(DBC), vậy BK⊥AC (định lí ba đường vuông góc). Kết hợp với BF⊥AC ta có AC⊥(BFK), từ đó mp(ABC)⊥mp(BFK).
b) Từ câu a), ta có
mp(BFK)⊥mp(ABC)mp(ADE)⊥mp(ABC)HK=mp(ADE)∩mp(BFK)
Vậy HK⊥mp(ABC).
