Đề bài
Cho cấp số cộng (un) và cho các số nguyên dương m, k với m<k. Chứng minh rằng
uk=uk−m+uk+m2.
Áp dụng. Hãy tìm một cấp số cộng có 7 số hạng mà số hạng thứ ba bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10.
Lời giải chi tiết
Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng (un), ta có
uk−m=u1+(k−m−1)d=u1+(k−1)d−md=uk−md,uk+m=u1+(k+m−1)d=u1+(k−1)d+md=uk+md
Từ đó suy ra uk−m+uk+m=2uk hay uk=uk−m+uk+m2.
Áp dụng. Với mỗi n∈{1,2,3,4,5,6,7}, kí hiệu un là số hạng thứ n của cấp số cộng cần tìm. Theo giả thiết cả bài ra, ta có u3=2 và u1+u7=10
Áp dụng kết quả đã chứng minh ở trên cho m=3 và k=4, ta được
u4=u1+u72=102=5
Suy ra d=u4−u3=5−2=3. Do đó
u1=u3−2d=2−2.3=−4,
u2=u1+d=−4+3=−1,
u5=u4+d=5+3=8
u6=u5+d=8+3=11 và u7=u6+d=11+3=14
