Đề bài
Cho ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đường thẳng At vuông góc với mp(ABC) lấy điểm S với AS = b.
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, b.
b) Hz là đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mp(SBC). Chứng minh rằng khi S di động trên At thì đường thẳng Hz luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải chi tiết
a) Gọi A1 là trung điểm của BC thì BC⊥mp(SAA1), từ đó (SAA1)⊥(SBC).
Kẻ đường cao AI của tam giác SAA1 thì AI⊥(SBC). Từ đó, khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng AI.
Ta có AI=AS.AA1SA1=b.a√32√b2+3a24.
Vậy AI=ab√3√3a2+4b2.
b) Vì H là trực tâm tam giác SBC nên H thuộc SA1. Do (SAA1)⊥(SBC) và Hz⊥(SBC) nên Hz nằm trong mp(SAA1). Gọi K là giao điểm của Hz và AA1, ta có KH⊥(SBC),BH⊥SC nên KB⊥SC (định lí ba đường vuông góc).
Mặt khác SA⊥(ABC),BK⊥SC nên BK⊥AC (định lí ba đường vuông góc). Như vậy K là trực tâm của tam giác ABC.
Vậy khi S di động trên đường thẳng At vuông góc với mp(ABC) thì đường thẳng Hz đi qua điểm cố định là trực tâm K của tam giác ABC.
