Cho dãy số (un) xác định bởi
u1=1 và un+1=un+2n−1 với mọi n≥1.
Xét dãy số (vn), mà vn=un+1−un với mọi n≥1.
LG a
Chứng minh rằng dãy số (vn) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó
Lời giải chi tiết:
Từ hệ thức xác định dãy số (un) suy ra un+1−un=2n−1 với mọi n≥1.
Do đó
vn=2n−1(∀n≥1).
Suy ra vn+1−vn=(2(n+1)−1)−(2n−1)=2 với mọi n≥1. Vì thế, (vn) là một cấp cộng với số hạng đầu v1=1 và công sai bằng 2.
LG b
Cho số nguyên dương N, hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số (vn) theo N. Từ đó, hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số (un).
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu SN là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số (vn). Từ kết quả phần a) , ta có
SN=N.(2.1+(N−1).2)2=N2(1)
Mặt khác, bằng cách tương tự như lời giải phần a) bài tập 3.76, ta chứng minh được
Sn=uN+1−u1(∀N≥1)(2)
Từ (1) và (2) , ta được : uN+1−u1=N2, hay uN+1=N2+u1=N2+1(∀N≥1). Từ đó, số hạng tổng quát của dẫy số (un) là : un=(n−1)2+1=n2−2n+2.
