Đề bài
Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = {{{2^n} - {5^n}} \over {{2^n} + {5^n}}},\) và số nguyên dương N. Hãy tính tổng sau:
\({S_N} = {1 \over {{u_1} - 1}} + {1 \over {{u_2} - 1}} + .... + {1 \over {{u_N} - 1}}.\)
Lời giải chi tiết
Với mỗi \(n \ge 1,\) ta có
\({1 \over {{u_n} - 1}} = - {1 \over 2}\left( {{{{2^n}} \over {{5^n}}} + 1} \right)\)
Do đó: \({S_N} = - {1 \over 2}\left( {{T_N} + N} \right),\) trong đó \({T_N} = {2 \over 5} + {{{2^2}} \over {{5^2}}} + ... + {{{2^N}} \over {{5^N}}}\)
Dễ thấy, \({T_N}\) là tổng N số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu bằng \({2 \over 5}\) và công bội bằng \({2 \over 5}\). Vì thế
\({T_N} = {2 \over 5} \times {{1 - {{\left( {{2 \over 5}} \right)}^N}} \over {1 - {2 \over 5}}} = {2 \over 3} \times {{{5^N} - {2^N}} \over {{5^N}}}\)
Suy ra:
\({S_N} = - {1 \over 2}\left( {{2 \over 3} \times {{{5^N} - {2^N}} \over {{5^N}}} + N} \right) \)\(= {{ - \left( {2 + 3N} \right){{.5}^N} + {2^{N + 1}}} \over {{{6.5}^N}}}\)
