Cho dãy số (un) xác định bởi
{u1=12un+1=unn+1
a
Chứng minh rằng un>0 và
un+1un≤12 với mọi n
Lời giải chi tiết:
- Chứng minh un>0 với mọi n bằng phương pháp quy nạp theo n:
+) Với n = 1 suy ra u1=12>0, (1) đúng
+) Giả sử (1) đúng với n = k ta có uk>0
Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1
uk+1=ukk+1>0 vì uk>0 và k+1>0
Suy ra un>0 với mọi n (đpcm)
- Chứng minh un+1un≤12 với mọi n:
un>0 với mọi n nên ta có:
un+1un=1n+1≤12 vì n+1≥2 với mọi n≥1
b
Từ đó suy ra lim
Lời giải chi tiết:
\eqalign{ & {u_2} \le {1 \over 2}{u_1} \cr & {u_3} \le {1 \over 2}{u_2} \le {\left( {{1 \over 2}} \right)^2}{u_1},... \cr & 0 \le {u_n} < {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}}{u_1} = {1 \over 2}{\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}} \cr} =\left( {{1 \over 2}} \right)^n
\lim {\left( {{1\over 2}} \right)^n} = 0
Theo nguyên lý kẹp ta có \lim {u_n} = 0
