Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại
LG a
lim
Phương pháp giải:
Lấy hai dãy số ({x_n}) và (x{'_n}) với {x_n} = n\pi ,x{'_n} = n\pi + {\pi \over 4}.
Tìm \lim {x_n},\lim x{'_n},\lim f({x_n}),\lim f(x{'_n}).
Lời giải chi tiết:
Lấy hai dãy số ({x_n}) và (x{'_n})
{x_n} = n\pi ,x{'_n} = n\pi + {\pi \over 4} (như trong hướng dẫn).
Khi đó \lim {x_n} = + \infty và \lim x{'_n} = + \infty ;
\lim f({x_n}) = limsin2{x_n} = \lim \sin 2n\pi = 0 và
\lim f(x{'_n}) = limsin2x{'_n} = \lim \sin \left( {2n\pi + {\pi \over 2}} \right) = 1.
Vì \lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {x{'_n}} \right) nên không tồn tại \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x.
Cách giải khác. Lấy dãy số ({x_n}) với
{x_n} = {{n\pi } \over 2} + {\pi \over 4},
Ta có \lim {x_n} = + \infty và
f\left( {{x_n}} \right) = \sin 2{x_n} = \sin \left( {n\pi + {\pi \over 2}} \right) = \left\{ \matrix{ 1\text{ với n chẵn} \hfill \cr - 1\text{ với n lẻ} \hfill \cr} \right.
Dãy số \left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\sin 2{x_n}} \right) không có giới hạn. Do đó không tồn tại \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x.
LG b
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos 3x
Lời giải chi tiết:
Làm tương tự như câu a) không tồn tại \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos 3x
LG c
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}
Phương pháp giải:
Chọn dãy số ({x_n}) sao cho {1 \over {2{x_n}}} = n\pi \,hay\,{x_n} = {1 \over {2n\pi }} Tìm \lim {x_n} và \lim f({x_n}).
Lời giải chi tiết:
Chọn dãy ({x_n}) sao cho
{1 \over {2{x_n}}} = n\pi \Leftrightarrow {x_n} = {1 \over {2n\pi }}.
Khi đó \lim {x_n} = 0 và
f\left( {{x_n}} \right) = \cos {1 \over {2{x_n}}} = \cos n\pi = \left\{ \matrix{ 1\text{ với n chẵn}\hfill \cr - 1\text{ với n lẻ} \hfill \cr} \right.
Dãy số \left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\cos {1 \over {2{x_n}}}} \right) không có giới hạn. Do đó không tồn tại
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}};
LG d
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.
Lời giải chi tiết:
Tương tự câu c, không tồn tại \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.
