Từ tính chất của hàm số y=sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π, hãy chứng minh rằng:
LG a
Hàm số y=Asin(ωx+α)+B (A,B,ω,α là những hằng số, Aω≠0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2π|ω|
Lời giải chi tiết:
Giả sử Asin(ω(x+T)+α)=Asin(ωx+α) với mọi x∈R.
Đặt ωx+α=u , ta được sin(u+ωT)=sinu, với mọi số thực u .
Vậy suy ra ωT=k2π , tức là T=k2πω,k nguyên.
Ngược lại dễ thấy rằng
Asin(ω(x+k2πω)+α)=Asin(ωx+α+k2π)
=Asin(ωx+α)
Vậy số T=2π|ω| là số dương bé nhất thỏa mãn
Asin(ω(x+T)+α)=Asin(ωx+α) với mọi x∈R.
(tức là y=Asin(ωx+α) là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2π|ω| ).
LG b
Hàm số y=Acos(ωx+α)+B (A,B,ω,α là những hằng số, Aω≠0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2π|ω|
Lời giải chi tiết:
T là số mà Acos(ω(x+T)+α)=Acos(ωx+α), với mọi x∈R thì
sin(ω(x+T)+α+π2) =sin(ωx+α+π2)
Đặt ωx+α+π2=u, ta được sin(u+ωT)=sinu với mọi u , từ đó ωT=k2π tức là T=k2πω,k là số nguyên.
(Cách khác, Acos(ω(x+T)+α)=Acos(ωx+α) với mọi x, thì khi lấy x=−αω , ta có cosωT=cos0=1 , từ đó ωT=k2π, tức T=k2πω,k là số nguyên).
Từ đó dễ thấy rằng y=Acos(ωx+α) là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2π|ω|.
