Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
1. Định nghĩa
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Cho hàm số f có đạo hàm trên K.
- Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.
- Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số f có đạo hàm trên K.
- Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì f đồng biến trên K.
- Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì f nghịch biến trên K.
- Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.
Định lý mở rộng
- Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f đồng biến trên K.
- Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.
4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
i) Tìm tập xác định
ii) Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm xi (i= 1 , 2 ,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
iii) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
iv) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
