Dạng 1: Giải bất phương trình logarit.
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.
- Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, mũ hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.
- Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.
Khi giải bất phương trình logarit cần chú ý đến điều kiện của cơ số a.
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình log2x≥log2(2x−1) là:
A. (−∞;1]
B. (12;1]
C. (0;1)
D. [12;1)
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp giải bất phương trình logarit với cơ số a>1: logaf(x)≥logag(x)⇔f(x)≥g(x) .
Cách giải:
Điều kiện xác định: {x>02x−1>0⇔{x>0x>12⇔x>12.
Khi đó, log2x≥log2(2x−1)⇔x≥2x−1⇔−x≥−1⇔x≤1.
Kết hợp với điều kiện xác định ta được 12<x≤1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (12;1].
Chọn B.
Chú ý khi giải:
Nhiều HS thường quên đặt điều kiện xác định, dẫn tới khi kết luận nghiệm chọn nhầm đáp án A.
Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: log14x+log12x−3≤0 là:
A. (−∞;14]
B. (0;+∞)
C. [14;+∞)
D. (−∞;−1]
Phương pháp:
Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.
Cách giải:
Điều kiện: x>0
log14x+log12x−3≤0⇔log(12)2x+log12x−3≤0⇔12log12x+log12x−3≤0⇔32log12x≤3⇔log12x≤2⇔x≥14
Kết hợp điều kiện x>0 ta được x≥14.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [14;+∞).
Chọn C.
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.
- Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo m nghiệm của bất phương trình.
- Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.
Ví dụ: Tìm giá trị lón nhất của m để bất phương trình 1+log5(x2+1)≥log5(mx2+4x+m) nghiệm đúng với mọi x∈R.
A. m=4
B. m=2
C. m=5
D. m=3
Phương pháp:
- Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức xác định.
- Biến đổi bất phương trình về cùng cơ số 5, nêu điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
- Giải điều kiện trên suy ra m.
Cách giải:
Điều kiện: mx2+4x+m>0,∀x⇔{m>0Δ′=4−m2<0⇔m>2
Ta có:
1+log5(x2+1)≥log5(mx2+4x+m)⇔log55+log5(x2+1)≥log5(mx2+4x+m)⇔5x2+5≥mx2+4x+m⇔(m−5)x2+4x+m−5≤0,∀x∈R⇔{m−5<0Δ′=4−(m−5)2≤0⇔{m<5−m2+10m−21≤0⇔m≤3
Kết hợp với điều kiện trên ta được 2<m≤3.
Do đó giá trị lớn nhất của m thỏa mãn là m=3.
Chọn D.
