Đề bài
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (6 điểm)
Câu 1:Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm điểm biểu diễn của số phức w=z+i.¯zw=z+i.¯¯¯z
A. M(5;-5). B. M(1;-5).
C. M(1;1). D. M(5;1).
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x là:
A.−13sin3x+C.−13sin3x+C. B.13sin3x+C.13sin3x+C.
C.3sin3x+C.3sin3x+C. D.−3sin3x+C.−3sin3x+C.
Câu 3: Biết 2∫0e3xdx=ea−1b.2∫0e3xdx=ea−1b. Tìm khẳng địng đúng trong các khẳng định sau?
A. a + b = 10. B. a = b.
C. a = 2b. D. a < b.
Câu 4: Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
A.∫1cos2x=t+C.∫1cos2x=t+C.
B.∫axdx=axlna+C(0<a≠1).∫axdx=axlna+C(0<a≠1).
C.∫xα=xα+1α+1+C(α≠−1).∫xα=xα+1α+1+C(α≠−1).
D.∫1x=lnx+C.∫1x=lnx+C.
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x−12=y+1−3=z−54d:x−12=y+1−3=z−54 và mặt phẳng (P); x – 3y + 2z – 5 = 0. Mệnh đề nào sau đây không đúng?
A. d cắt và không vuông góc với (P).
B.d vuông góc với (P).
C. d song song với (P).
D. d nằm trong (P).
Câu 6: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1;4;7) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y - 2z – 3 = 0 là:
A.{x=1+2ty=4+4tz=7−4t
B.{x=−4+ty=3+2tz=−1−2t
C.{x=1+4ty=4+3tz=7+t
D.{x=1+ty=2+4tz=−2+7t
Câu 7: Cho A(1;2;3), mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) biết (Q) cách điểm A một khoảng bằng 3√3 là:
A. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z – 3 = 0.
B. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z + 15 = 0.
C. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z – 15 = 0.
D. x + y + z + 3 = 0 và x + y – z – 15 = 0.
Câu 8: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.
A. Phần thực là – 4 và phần ảo là 3.
B. Phần thực là 3 và phần ảo là – 4i.
C. Phần thực là 3 và phần ảo là – 4.
D. Phần thực là – 4 và phần ảo là 3i.
Câu 9: Biết b∫af(x)dx=10,F(x) là một nguyên hàm của f(x) và F(a) = - 3. Tính F(b).
A. F(b) = 13. B. F(b) = 10.
C. F(b) = 16. D. F(b) = 7.
Câu 10: Tìm số phức liên hợp của số phức z = i(3i+1).
A.¯z=3−i. B.¯z=−3−i.
C.¯z=−3+i. D.¯z=3+i.
Câu 11: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=41+2x và F(0) = 2. Tìm F(2).
A. 4ln5 + 2. B. 5 (1 + ln2).
C. 2 ln5 + 4. D. 2 (1+ln5).
Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=x2, trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 3 là:
A. 13. B.283.
C.83. D.289.
Câu 13: Gọi z1 và z2 lần lượt là nghiệm của phương trình: z2−2z+5=0. Tính P=|z1|+|z2|.
A.2√5. B. 10.
C. 3. D. 6.
Câu 14: Tính mô đun của số phức z thỏa mãn: z(2 – i) + 13i = 1.
A.|z|=√343. B.|z|=5√342.
C.|z|=34. D.|z|=√34.
Câu 15: Tích phân I=1∫02dx3−2x=lna. Giá trị của a bằng:
A. 3. B. 2.
C. 4. D.1.
Câu 16: Biết 3∫0f(x)dx=12. Tính I=1∫0f(x)dx.
A. 4. B. 6.
C. 36. D. 3.
Câu 17: F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x)=3x+4x2,(x≠0), biết rằng F(1) = 1. F(x) là biểu thức nào sau đây:
A.F(x)=2x+4x−5.
B.F(x)=3ln|x|+4x+5.
C.F(x)=3x−4x+3.
D.F(x)=3ln|x|−4x+3.
Câu 18: Trong hệ tọa Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;-1), B(4;-1;2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:
A. 2x+2y+3z+1=0.
B. 4x–4y–6z+152=0.
B. 4x+4y+6z–7=0.
D. x+y–z=0.
Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:{x=2+2ty=−3tz=−3+5t(t∈R). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?
A.→u=(2;0;−3).
B.→u=(2;−3;5).
C.→u=(2;3;−5).
D.→u=(2;0;5).
Câu 20: Cho đồ thị hàm số y = f(x), diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:
A.S=4∫−3f(x)dx.
B.S=−3∫0f(x)dx+4∫0f(x)dx.
C.S=1∫−3f(x)dx+4∫1f(x)dx.
D.S=0∫−3f(x)dx−4∫0f(x)dx.
Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;3;0) và C(0;0;2). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (ABC)?
A.x3+y2+z−2=1.
B.x2+y−2+z3=1.
C.x2+y3+z−2=1.
D.x−2+y3+z2=1.
Câu 22: Phương trình nào sau đây là chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2;-3) và B(3;-1;1)?
A.x−13=y−2−1=z+31.
B.x−31=y+12=z−1−3.
C.x−12=y−2−3=z+34.
D.x+12=y+2−3=z−34.
Câu 23: Tìm số phức z biết z=3+4ii2019.
A. z = 4 – 3i. B. z = 4 + 3i.
C. z = 3 – 4i. D. z = 3 + 4i.
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2z + 3 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
A.→n=(1;−2;0).
B. →n=(1;0;−2).
C. →n=(3;−2;1).
D. →n=(1;−2;3).
PHẦN II. TỰ LUẬN (4 điểm)
Câu 1: (1.0 điểm). Tính các tích phân sau:
a) I=√7∫0x3√1+x2dx;
b)I=π4∫0(3−2x)cos2xdx.
Câu 2: (1.0 điểm).
a) Giải phương trình (1 + i)z + (4 – 7i) = 8 – 4i.
b) Tìm số phức z thỏa mãn: (3+i)¯z+(1+2i)z=3−4i.
Câu 3: (2.0 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 4 = 0.
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).
b) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Lời giải chi tiết
| 1C | 2B | 3C | 4D | 5A |
| 6A | 7C | 8C | 9D | 10B |
| 11D | 12B | 13A | 14D | 15A |
| 16A | 17B | 18C | 19B | 20D |
| 21D | 22C | 23A | 24B |
|
PHẦN II. TỰ LUẬN (4 điểm)
Câu 1: (1.0 điểm)
Tính các tích phân sau:a) I=√7∫0x3√1+x2dx;b)I=π4∫0(3−2x)cos2xdx.
a) Đặt: t=3√1+x2⇒t3=1+x2
⇒3t2dt=2xdx⇒xdx=32t2dt
Đổi cận: x=0⇒t=1;x=√7⇒t=2
⇒I=2∫132t3dt=38|21=38(16−1)=458.
b) Đặt {u=3−2x⇒du=−2dxdv=cos2x⇒v=sin2x2
I=(3−2x)sin2x2|π40+π4∫0sin2xdx=(6−π4)−12(0−1)=8−π4=2−π4.
Câu 2: (1.0 điểm)
a) Giải phương trình (1+i)z+(4–7i)=8–4i.
Ta có:
(1+i)z+(4−7i)=8−4i⇔(1+i)z=4+3i⇔z=4+3i1+i=(4+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−4i+3i−3i22=72−12i
b) Tìm số phức z thỏa mãn: (3+i)¯z+(1+2i)z=3−4i.
Gọi z=a+bi (a,b∈R,i2=−1)⇒¯z=a−bi
(3+i)¯z+(1+2i)z=3−4i⇔(3+i)(a−bi)+(1+2i)(a+bi)=3−4i⇔4a−b+(3a−2b)i=3−4i⇔{4a−b=33a−2b=−4⇔{a=2b=5
Vậy z=2+5i.
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x–y+2z+4=0.
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).
Đường thẳng (d) đi qua điểm M(2;1;1), vuông góc với (P) có VTCP: →u=(2;−1;2)
Có PTTS: {x=2+2ty=1−tz=1+2t(t∈R)
b) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P).
Tọa độ hình chiếu H của M lên mặt phẳng (P) là nghiệm của hệ:
{2x−y+2z+4=0x=2+2ty=1−tz=1+2t⇔{t=−1x=0y=2z=−1
Vậy H(0;2;−1)
c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Ta có: d(M;(P))=|4−1+2+4|√4+1+4=3
Mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính R = d(M;(P))=2 có phương trình: (x−2)2+(y−1)2+(z−1)2=9
