Đề bài
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (6 điểm)
Câu 1:Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm điểm biểu diễn của số phức \({\rm{w}} = z + i.\overline z \)
A. M(5;-5). B. M(1;-5).
C. M(1;1). D. M(5;1).
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x là:
A.\( - \dfrac{1}{3}\sin 3x + C.\) B.\(\dfrac{1}{3}\sin 3x + C.\)
C.\(3\sin 3x + C.\) D.\( - 3\sin 3x + C.\)
Câu 3: Biết \(\int\limits_0^2 {{e^{3x}}} dx = \dfrac{{{e^a} - 1}}{b}.\) Tìm khẳng địng đúng trong các khẳng định sau?
A. a + b = 10. B. a = b.
C. a = 2b. D. a < b.
Câu 4: Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
A.\(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} = {\mathop{\rm t}\nolimits} + C.\)
B.\(\int {{a^x}dx} = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1).\)
C.\(\int {{x^\alpha }} = \dfrac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne - 1).\)
D.\(\int {\dfrac{1}{x}} = \ln x + C.\)
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 5}}{4}\) và mặt phẳng (P); x – 3y + 2z – 5 = 0. Mệnh đề nào sau đây không đúng?
A. d cắt và không vuông góc với (P).
B.d vuông góc với (P).
C. d song song với (P).
D. d nằm trong (P).
Câu 6: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1;4;7) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y - 2z – 3 = 0 là:
A.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 4 + 4t\\z = 7 - 4t\end{array} \right.\)
B.\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + t\\y = 3 + 2t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\)
C.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 4 + 3t\\z = 7 + t\end{array} \right.\)
D.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 4t\\z = - 2 + 7t\end{array} \right.\)
Câu 7: Cho A(1;2;3), mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) biết (Q) cách điểm A một khoảng bằng \(3\sqrt 3 \) là:
A. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z – 3 = 0.
B. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z + 15 = 0.
C. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z – 15 = 0.
D. x + y + z + 3 = 0 và x + y – z – 15 = 0.
Câu 8: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.
A. Phần thực là – 4 và phần ảo là 3.
B. Phần thực là 3 và phần ảo là – 4i.
C. Phần thực là 3 và phần ảo là – 4.
D. Phần thực là – 4 và phần ảo là 3i.
Câu 9: Biết \(\int\limits_a^b {f(x)dx = 10} ,F(x)\) là một nguyên hàm của f(x) và F(a) = - 3. Tính F(b).
A. F(b) = 13. B. F(b) = 10.
C. F(b) = 16. D. F(b) = 7.
Câu 10: Tìm số phức liên hợp của số phức z = i(3i+1).
A.\(\overline z = 3 - i.\) B.\(\overline z = - 3 - i.\)
C.\(\overline z = - 3 + i.\) D.\(\overline z = 3 + i.\)
Câu 11: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{4}{{1 + 2x}}\) và F(0) = 2. Tìm F(2).
A. 4ln5 + 2. B. 5 (1 + ln2).
C. 2 ln5 + 4. D. 2 (1+ln5).
Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = {x^2},\) trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 3 là:
A. \(\dfrac{1}{3}.\) B.\(\dfrac{{28}}{3}.\)
C.\(\dfrac{8}{3}.\) D.\(\dfrac{{28}}{9}.\)
Câu 13: Gọi \({z_1}\) và \({z_2}\) lần lượt là nghiệm của phương trình: \({z^2} - 2z + 5 = 0.\) Tính \(P = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)
A.\(2\sqrt 5 .\) B. 10.
C. 3. D. 6.
Câu 14: Tính mô đun của số phức z thỏa mãn: z(2 – i) + 13i = 1.
A.\(\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt {34} }}{3}.\) B.\(\left| z \right| = \dfrac{{5\sqrt {34} }}{2}.\)
C.\(\left| z \right| = 34.\) D.\(\left| z \right| = \sqrt {34} .\)
Câu 15: Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{2dx}}{{3 - 2x}}} = \ln a.\) Giá trị của a bằng:
A. 3. B. 2.
C. 4. D.1.
Câu 16: Biết \(\int\limits_0^3 {f(x)dx = 12} .\) Tính \(I = \int\limits_0^1 {f(x)dx} .\)
A. 4. B. 6.
C. 36. D. 3.
Câu 17: F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{3x + 4}}{{{x^2}}},(x \ne 0),\) biết rằng F(1) = 1. F(x) là biểu thức nào sau đây:
A.\(F(x) = 2x + \dfrac{4}{x} - 5.\)
B.\(F(x) = 3\ln \left| x \right| + \dfrac{4}{x} + 5.\)
C.\(F(x) = 3x - \dfrac{4}{x} + 3.\)
D.\(F(x) = 3\ln \left| x \right| - \dfrac{4}{x} + 3.\)
Câu 18: Trong hệ tọa Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;-1), B(4;-1;2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:
A. \(2x + 2y + 3z + 1 = 0. \)
B. \(4x – 4y – 6z + \dfrac{{15}}{2}= 0.\)
B. \(4x + 4y + 6z – 7 = 0. \)
D. \(x + y – z = 0.\)
Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3t\\z = - 3 + 5t\end{array} \right.(t \in \mathbb{R}).\) Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?
A.\(\overrightarrow u = (2;0; - 3).\)
B.\(\overrightarrow u = (2; - 3;5).\)
C.\(\overrightarrow u = (2;3; - 5).\)
D.\(\overrightarrow u = (2;0;5).\)
Câu 20: Cho đồ thị hàm số y = f(x), diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:
A.\(S = \int\limits_{ - 3}^4 {f(x)dx.} \)
B.\(S = \int\limits_0^{ - 3} {f(x)dx + \int\limits_0^4 {f(x)dx} .} \)
C.\(S = \int\limits_{ - 3}^1 {f(x)dx + \int\limits_1^4 {f(x)dx} .} \)
D.\(S = \int\limits_{ - 3}^0 {f(x)dx - \int\limits_0^4 {f(x)dx} .} \)
Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;3;0) và C(0;0;2). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (ABC)?
A.\(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{{ - 2}} = 1.\)
B.\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{3} = 1.\)
C.\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{{ - 2}} = 1.\)
D.\(\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2} = 1.\)
Câu 22: Phương trình nào sau đây là chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2;-3) và B(3;-1;1)?
A.\(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 3}}{1}.\)
B.\(\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 3}}.\)
C.\(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z + 3}}{4}.\)
D.\(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 3}}{4}.\)
Câu 23: Tìm số phức z biết \(z = \dfrac{{3 + 4i}}{{{i^{2019}}}}.\)
A. z = 4 – 3i. B. z = 4 + 3i.
C. z = 3 – 4i. D. z = 3 + 4i.
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2z + 3 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
A.\(\overrightarrow n = (1; - 2;0).\)
B. \(\overrightarrow n = (1;0; - 2).\)
C. \(\overrightarrow n = (3; - 2;1).\)
D. \(\overrightarrow n = (1; - 2;3).\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (4 điểm)
Câu 1: (1.0 điểm). Tính các tích phân sau:
a) \(I = \int\limits_0^{\sqrt 7 } {x\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}} dx;\)
\(b)I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {(3 - 2x)cos2xdx} .\)
Câu 2: (1.0 điểm).
a) Giải phương trình (1 + i)z + (4 – 7i) = 8 – 4i.
b) Tìm số phức z thỏa mãn: \((3 + i)\overline z + (1 + 2i)z = 3 - 4i.\)
Câu 3: (2.0 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 4 = 0.
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).
b) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Lời giải chi tiết
| 1C | 2B | 3C | 4D | 5A |
| 6A | 7C | 8C | 9D | 10B |
| 11D | 12B | 13A | 14D | 15A |
| 16A | 17B | 18C | 19B | 20D |
| 21D | 22C | 23A | 24B |
|
PHẦN II. TỰ LUẬN (4 điểm)
Câu 1: (1.0 điểm)
Tính các tích phân sau:a) \(I = \int\limits_0^{\sqrt 7 } {x\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}} dx;\)\(b)I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {(3 - 2x)cos2xdx} .\)
a) Đặt: \(t = \sqrt[3]{{1 + {x^2}}} \Rightarrow {t^3} = 1 + {x^2}\)
\(\Rightarrow 3{t^2}dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{3}{2}{t^2}dt\)
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = \sqrt 7 \Rightarrow t = 2 \)
\(\Rightarrow I = \int\limits_1^2 {\dfrac{3}{2}} {t^3}dt\)\(\, = \left. {\dfrac{3}{8}} \right|_1^2 = \dfrac{3}{8}(16 - 1) = \dfrac{{45}}{8}.\)
b) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 3 - 2x \Rightarrow du = - 2dx\\dv = \cos 2x \Rightarrow v = \dfrac{{\sin 2x}}{2}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} I = (3 - 2x)\left. {\dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \\\;\;\;\;\;\; = \left( {\dfrac{{6 - \pi }}{4}} \right) - \dfrac{1}{2}(0 - 1)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{8 - \pi }}{4} = 2 - \dfrac{\pi }{4}.\end{array}\)
Câu 2: (1.0 điểm)
a) Giải phương trình \((1 + i)z + (4 – 7i) = 8 – 4i.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}(1 + i)z + (4 - 7i) = 8 - 4i\\ \Leftrightarrow (1 + i)z = 4 + 3i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{4 + 3i}}{{1 + i}} = \dfrac{{(4 + 3i)(1 - i)}}{{(1 + i)(1 - i)}} \\= \dfrac{{4 - 4i + 3i - 3{i^2}}}{2} = \dfrac{7}{2} - \dfrac{1}{2}i\end{array}\)
b) Tìm số phức z thỏa mãn: \((3 + i)\overline z + (1 + 2i)z = 3 - 4i.\)
Gọi \(z = a + bi\) \((a,b \in \mathbb{R},{i^2} = - 1) \Rightarrow \overline z = a - bi\)
\(\begin{array}{l}(3 + i)\overline z + (1 + 2i)z = 3 - 4i\\ \Leftrightarrow (3 + i)(a - bi) + (1 + 2i)(a + bi) \\= 3 - 4i\\ \Leftrightarrow 4a - b + (3a - 2b)i = 3 - 4i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a - b = 3\\3a - 2b = - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(z = 2 + 5i.\)
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;1) và mặt phẳng (P): \(2x – y + 2z + 4 = 0.\)
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).
Đường thẳng (d) đi qua điểm M(2;1;1), vuông góc với (P) có VTCP: \(\overrightarrow u = (2; - 1;2)\)
Có PTTS: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.(t \in \mathbb{R})\)
b) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P).
Tọa độ hình chiếu H của M lên mặt phẳng (P) là nghiệm của hệ:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 2z + 4 = 0\\x = 2 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = 0\\y = 2\\z = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(H(0;2;-1)\)
c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Ta có: \(d(M;(P)) = \dfrac{{\left| {4 - 1 + 2 + 4} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 3\)
Mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính R = d(M;(P))=2 có phương trình: \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} = 9\)
