Đề bài
Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là \(\displaystyle a, b, c\). Khi đó bán kính \(\displaystyle r\) của mặt cầu bằng:
(A) \(\displaystyle {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \);
(B) \(\displaystyle \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \);
(C) \(\displaystyle \sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} \);
(D) \(\displaystyle {{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} } \over 3}\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có tâm chính là tâm của hình hộp chữ nhật.
Lời giải chi tiết
Gọi \(O\) là tâm của hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có các kích thước \(AB = a;\,\,AD = b;\,\,AA' = c\) thì \(O\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó. Do đó bán kính của mặt cầu này là \(R = OA = \frac{1}{2}AC'\).
Xét tam giác vuông \(A'B'C'\) có: \(A'C{'^2} = A'B{'^2} + B'C{'^2} = {a^2} + {b^2}\)
\(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow AA' \bot A'C' \Rightarrow \Delta AA'C'\) vuông tại A', do đó:
\(\begin{array}{l}
AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \\
\Rightarrow R = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}
\end{array}\)
Chọn (A).
