1. Kiến thức cần nhớ
a) Phương trình mặt phẳng.
Mặt phẳng đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có VTPT →n=(a;b;c) thì có phương trình: a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0
b) Phương trình đường thẳng.
Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và nhận →u=(a;b;c) làm VTCP thì có phương trình tham số {x=x0+aty=y0+btz=z0+ct(t∈R)
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng.
Phương trình tổng quát của đường thẳng: {ax+by+cz+d=0a′x+b′y+c′z+d′=0(a:b:c≠a′:b′:c′)
ở đó →n=(a;b;c),→n′=(a′;b′;c′) là các VTPT của hai mặt phẳng có phương trình như trên.
Khi đó →u=[→n,→n′] là VTCP của đường thẳng.
d) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng d có VTCP →u và mặt phẳng (P) có VTPT →n. Khi đó:
+) d//(P)⇔{→u⊥→nM∈d,M∉(P)
+) d⊂(P)⇔{→u⊥→nM∈d,M∈(P)
+) d⊥(P)⇔→u cùng phương với →n
+) d cắt (P) thì tọa độ giao điểm thỏa mãn {ptdpt(P)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Phương pháp:
- Gọi tọa độ của giao điểm theo tham số của đường thẳng.
- Thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng, tìm tham số suy ra điểm cần tìm.
Dạng 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Phương pháp:
- Tìm các VTPT →n của mặt phẳng, VTCP →u của đường thẳng.
- Dựa vào mối quan hệ của →n,→u để kết luận:
+ Nếu →n,→u cùng phương thì (P)⊥d
+ Nếu →n,→u có phương vuông góc thì (P)//d hoặc d⊂(P)
Trường hợp d⊂(P) sẽ xảy ra nếu thêm điều kiện một điểm thuộc d thì thuộc (P).
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng.
Phương pháp:
- Tìm tọa độ điểm đi qua.
- Tìm một VTPT của mặt phẳng.
- Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT tìm được ở trên.
Một số dạng phương trình mặt phẳng:
+) Đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng.
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
- Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d thì (P) nhận →nP=→ud làm VTPT.
+) Đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng khác.
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và song song với đường thẳng d,d′.
- (P) song song với đường thẳng d,d′ nên (P) nhận →nP=[→ud,→ud′] làm VTPT.
+) Đi qua hai điểm và song song với đường thẳng.
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B và song song với đường thẳng d.
- (P) đi qua A,B và song song với đường thẳng d nên nó đi qua A và nhận →nP=[→AB,→ud]
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng.
Phương pháp:
- Tìm tọa độ điểm đi qua.
- Tìm một VTCP của đường thẳng.
- Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có VTCP như trên.
Một số dạng phương trình đường thẳng liên quan đến mặt phẳng.
+) Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P)
- Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) thì nó nhận →ud=→nP làm VTCP.
+) Hình chiếu của một đường thẳng trên một mặt phẳng.
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P)
((Q) đi qua điểm M∈d và nhận →nQ=[→ud,→nP] làm VTPT).
- Đường thẳng d′ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q) nên d′:{(P)(Q)
+) Đường thẳng đi qua một điểm, vuông góc với đường thẳng và song song với mặt phẳng.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với d′ và song song với mặt phẳng (P).
- d⊥d′,d//(P)⇒→ud=[→ud′,→nP]
