Giải đề thi học kì 1 toán lớp 12 năm 2019 - 2020 sở giáo dục Đồng Tháp

Câu 1 (NB): Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. $\left( { - 27; + \infty } \right)$ B. $\left( { - \infty ;5} \right)$

C. $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ D. $\left( { - 1; + \infty } \right)$

Câu 2 (NB): Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${3^{2x - 3}} \ge 9$ là

A. $S = \left[ {\dfrac{5}{2}; + \infty } \right)$

B. $S = \left( { - \infty ;\dfrac{5}{2}} \right]$

C. $S = \left( { - \infty ;\dfrac{1}{2}} \right]$

D. $S = \left[ {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)$

Câu 3(NB) : Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh $2a$ và chiều cao bằng $3a$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. $4{a^3}$ B. $12{a^3}$

C. ${a^3}$ D. $3{a^3}$

Câu 4 (NB): Gọi $l,h,R$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón. Diện tích toàn phần ${S_{tp}}$ của hình nón là:

A. ${S_{tp}} = \pi Rl + 2\pi {R^2}$

B. ${S_{tp}} = 2\pi Rl + 2\pi {R^2}$

C. ${S_{tp}} = 2\pi Rl + \pi {R^2}$

D. $\pi Rl + \pi {R^2}$

Câu 5 (NB): Hàm số $y = {\left( {2x - 4} \right)^{\dfrac{2}{3}}}$ có tập xác định là

A. $\mathbb{R}$ B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$

C. $\left( { - 2; + \infty } \right)$ D. $\left( {2; + \infty } \right)$

Câu 6(TH) : Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $- {x^3} + 3{x^2} + 1$

B. $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$

C. $y = {x^4} - {x^2} + 1$

D. $y = - {x^4} + 2{x^2} + 1$

Câu 7(TH) : Cho $a$ là số thực dương khác 1. Giá trị của biểu thức $P = {\log _{{a^2}}}\sqrt[4]{{{a^3}}}$

A. $\dfrac{2}{3}$ B. $\dfrac{8}{3}$

C. $\dfrac{3}{8}$ D. $\dfrac{3}{2}$

Câu 8 (NB): Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng

A. $x = 1$ B. $y = 1$

C. $x = - 2$ D. $y = - 2$

Câu 9 (TH): Cho $a$ là số thực dương tùy ý, biểu thức ${a^{\dfrac{2}{3}}}.{a^{\dfrac{2}{5}}}$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

A. ${a^{\dfrac{4}{{15}}}}$ B. ${a^{\dfrac{{16}}{{15}}}}$

C. ${a^{\dfrac{5}{3}}}$ D. ${a^{\dfrac{1}{2}}}$

Câu 10(NB): Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( {0;1} \right)$ B. $\left( { - 1;0} \right)$

C. $\left( { - 1;1} \right)$ D. $\left( { - \infty ;1} \right)$

Câu 11 (NB): Hình chóp tứ giác có số cạnh là:

A. $8$ B. $5$ C. $4$ D. $6$

Câu 12(NB) : Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số bằng

A. $1$ B. $3$ C. $2$ D. $0$

Câu 13 (NB): Gọi $l,h,R$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Diện tích xung quanh của hình trụ là

A. ${S_{xq}} = \pi Rl$ B. ${S_{xq}} = 2\pi Rl$

C. ${S_{xq}} = \pi Rh$ D. ${S_{xq}} = 4\pi Rl$

Câu 14 (NB): Tập nghiệm $S$ của phương trình ${5^x} = 25$ là

A. $S = \left\{ 1 \right\}$ B. $S = \left\{ 2 \right\}$

C. $S = \left\{ 0 \right\}$ D. $S = \left\{ 3 \right\}$

Câu 15 (TH): Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = - {x^4} + 4{x^2} + 1$

B. $y = {x^3} + 3x + 1$

C. $y = - {x^3} + 2{x^2} + 1$

D. $y = {x^4} - 4{x^2} + 1$

Câu 16(TH): Phương trình ${3^{2x + 1}} - {10.3^x} + 1$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ trong đó ${x_1} < {x_2}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ${x_1} + {x_2} = 0$ B. ${x_1} + 2{x_2} = 3$

C. ${x_1}{x_2} = 1$ D. $2{x_1} - {x_2} = 3$

Câu 17 (TH): Một hình nón có đường kính đường tròn đáy bằng $10cm$ và chiều dài đường sinh bằng $15cm$. Thể tích của khối nón bằng

A. $\dfrac{{500\pi \sqrt 5 }}{3}\left( {c{m^3}} \right)$

B. $\dfrac{{250\pi \sqrt 2 }}{3}\left( {c{m^3}} \right)$

C. $250\pi \sqrt 2 \left( {c{m^3}} \right)$

D. $500\pi \sqrt 5 \left( {c{m^3}} \right)$

Câu 18(TH): Đồ thị hàm số $y = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)$ có bao nhiêu điểm chung với trục $Ox?$

A. $2$ B. $3$ C. $4$ D. $1$

Câu 19(TH) : Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình $2f\left( x \right) - 7 = 0$ là:

A. $2$ B. $4$ C. $3$ D. $0$

Câu 20(VD) : Kim tự tháp Kheops thời Ai Cập cổ đại vừa xây xong có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $231\left( m \right)$, góc giữa mặt bên và mặt đáy khoảng $51,74^\circ$. Thể tích kim tự tháp gần với giá trị nào sau đây?

A. $7.815.170\left( {{m^3}} \right)$

B. $2.605.057\left( {{m^3}} \right)$

C. $3.684.107\left( {{m^3}} \right)$

D. $11.052.320\left( {{m^3}} \right)$

Câu 21(TH): Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 2$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$. Tỉ số $\dfrac{M}{m}$ bằng

A. $\dfrac{{ - 6}}{5}$ B. $- 3$

C.$\dfrac{5}{2}$ D. $- 2$

Câu 22(NB) : Cho $a$ là số thực dương khác 1 và $b$ là số thực khác 0. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. ${\log _a}{a^b} = b$

B. ${\log _{\dfrac{1}{a}}}a = - 1$

C. ${\log _a}{b^4} = 4{\log _a}b$

D. ${a^{{{\log }_a}{b^2}}} = {b^2}$

Câu 23 (TH): Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 3a,AD = 4a$ và $AC' = 10a$. Thể tích của khối hộp đã cho bằng

A. $48\sqrt 3 {a^3}$ B. $60{a^3}$

C. $20\sqrt 3 {a^3}$ D. $60\sqrt 3 {a^3}$

Câu 24(TH): Cho ${\log _2}7 = a;{\log _3}7 = b$. Giá trị của ${\log _6}7$ tính theo $a$ và $b$ là

A. $a + b$ B. $\dfrac{{a + b}}{{ab}}$

C. $\dfrac{1}{{a + b}}$ D. $\dfrac{{ab}}{{a + b}}$

Câu 25(TH): Hàm số $y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 1$ nghịch biến trên

A. $\left( { - 1;3} \right)$ B. $\left( {1;3} \right)$

C. $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$ D. $\mathbb{R}$

Câu 26(VD): Tập nghiệm $S$ của bất phương trình là

A. $S = \left( { - 1;2} \right)$

B. $S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$

C. $S = \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$

D. $S = \left( {\dfrac{1}{2};4} \right)$

Câu 27(VD): Cho phương trình $\log _{\sqrt 2 }^2x - 3{\log _2}2x + 1 = 0$. Nếu đặt $t = {\log _2}x$ thì được phương trình

A. $2{t^2} - 3t + 2 = 0$

B. $\dfrac{1}{4}{t^2} - 3t + 2 = 0$

C. $4{t^2} - 3t - 2 = 0$

D. $4{t^2} + t - 2 = 0$

Câu 28(TH): Hình chóp tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. $3$ B. $4$ C. $6$ D. $9$

Câu 29(TH): Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $BC = 3a,AC = 5a,$ cạnh bên $A'A = 6a$. Thể tích khối lăng trụ bằng

A. $12{a^3}$ B. $9{a^3}$

C. $36{a^3}$ D. $45{a^3}$

Câu 30(NB): Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} - 1}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. $3$ B. $1$ C. $2$ D. $4$

Câu 31(NB): Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)$. Hàm số $y = f\left( x \right)$ có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $0$

Câu 32(TH): Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. $4$ B. $2$ C. $5$ D. $3$

Câu 33(VD): Cho hình nón có đỉnh $S$ và bán kính đường tròn đáy $R = a\sqrt 2$, góc ở đỉnh bằng $60^\circ$. Diện tích xung quanh của hình nón bằng

A. $\dfrac{{4\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}$ B.$4\pi {a^2}$

C. $8\pi {a^2}$ D. $\dfrac{{8\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}$

Câu 34(TH): Đạo hàm của hàm số $y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)$ là

A. $y' = \dfrac{{x - 1}}{{\ln \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}$

B.$y' = \dfrac{1}{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\ln 2}}$

C. $y' = \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\ln 2}}$

D. $y' = \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} - 2x + 3}}$

Câu 35(TH): Một hình trụ có chu vi đường tròn đáy $8\pi a$ và đường sinh có chiều dài bằng $3a$. Thể tích của khối trụ bằng

A. $48\pi {a^3}$ B. $16\pi {a^3}$

C. $12\pi {a^3}$ D. $32\pi {a^3}$

Câu 36(VD): Cho các hàm số lũy thừa $y = {x^\alpha }$, $y = {x^\beta }$ và $y = {x^\gamma }$ có đồ thị lần lượt là (1), (2) và (3) như hình vẽ.

Mệnh đề nào sau đây đúng

A. $\alpha < \beta < \gamma$ B. $\gamma < \alpha < \beta$

C. $\alpha < \gamma < \beta$ D. $\gamma < \beta < \alpha$

Câu 37(VD): Tìm giá trị $m$ để hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} + m + 1$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$ bằng 4 là

A. $m = 4$ B. $m = 1$

C. $m = - 17$ D. $m = 3$

Câu 38(VD): Tìm tất cả giá trị của $m$ để hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m$ nghịch biến trên một khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.

A. $m < 3$ B. $m \ge \dfrac{9}{4}$

C.$m \le \dfrac{9}{4}$ D. $m < \dfrac{9}{4}$

Câu 39(VD): Năm 2018 dân số Việt Nam là $96.961.884$ người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là $0,98\%$. Biết rằng sự gia tăng dân số được tính theo công thức $S = A.{e^{Nr}}$, trong đó $A$ là dân số của năm lấy mốc tính, $S$ là dân số sau $N$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Với tỉ lệ tăng dân số như vậy thì ít nhất đến năm nào dân số nước ta đạt $110$ triệu người?

A. $2031$ B. $2035$

C. $2025$ D. $2041$

Câu 40(VD): Một người gửi ngân hàng số tiền 200 triệu đồng với hình thức lãi kép theo quý là 2%/ quý. Hỏi sau đúng 3 năm người đó nhận được cả vốn lẫn lãi bao nhiêu tiến?

A. $253.648.000$ đồng

B. $212.241.000$ đồng

C. $239.018.000$ đồng

D. $225.232.000$ đồng

Câu 41(VD): Giá trị của $m$ để đường thẳng $d:y = \left( {2m - 3} \right)x + m - 3$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 1$ là

A. $m = \dfrac{1}{2}$ B. $m = 1$

C. $m = - \dfrac{1}{2}$ D. $m = \dfrac{7}{4}$

Câu 42(VD): Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + m$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi

A. $- 5 < m < 27$

B. $11 < m < 27$

C. $- 27 < m < 5$

D. $- 27 < m < - 11$

Câu 43(VD): Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ trên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trọng tâm của tam giác $ABC$, góc giữa $A'A$ và mặt đáy bằng $60^\circ$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng

A. $\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}$ B. $\dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}$

C. $\sqrt 3 {a^3}$ D. $2\sqrt 3 {a^3}$

Câu 44(VD): Giá trị của tham số $m$ để phương trình ${9^x} - {4.6^x} + \left( {m - 3} \right){.4^x} = 0$ có hai nghiệm dương phân biêt.

A. $3 < m < 7$ B. $m < 7$

C. $6 \le m \le 7$ D. $6 < m < 7$

Câu 45(VD): Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ với $BC = 2a,\widehat {BAC} = 120^\circ$, biết $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ hợp với đáy một góc $45^\circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$

A. ${a^3}\sqrt 2$ B. $\dfrac{{{a^3}}}{2}$

C. $\dfrac{{{a^3}}}{3}$ D. $\dfrac{{{a^3}}}{9}$

Câu 46(VDC): Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y = \left| {\dfrac{3}{4}{x^4} - {x^3} - 3{x^2} + m + 2} \right|$ có 7 điểm cực trị?

A. $2$ B. $0$ C. $3$ D. $1$

Câu 47(VD): Cho hàm số $y = \dfrac{{2x - 2}}{{x + 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Giá trị dương của tham số $m$ để đường thẳng $\left( d \right):y = 2x + m$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $A,B$ sao cho $AB = \sqrt 5$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. $m \in \left( {9;15} \right)$ B. $m \in \left( {1;3} \right)$

C. $m \in \left( {3;6} \right)$ D. $m \in \left( {6;9} \right)$

Câu 48(VD): Hình nón có đường cao $20\left( {cm} \right)$, bán kính đáy $25\left( {cm} \right)$. Một mặt phẳng $\left( P \right)$ qua đỉnh của hình nón và có khoảng cách đến tâm của hình tròn đáy là $12\left( {cm} \right)$. Diện tích thiết diện tạo bởi $\left( P \right)$ và hình nón bằng

A. $500\left( {c{m^2}} \right)$ B. $600\left( {c{m^2}} \right)$

C. $550\left( {c{m^2}} \right)$ D. $450\left( {c{m^2}} \right)$

Câu 49(VD): Bác An có một tấm tole phẳng hình chữ nhật, chiều rộng $1m$ và chiều dài $1,6m$. Bác cắt 4 góc của tấm tole 4 hình vuông bằng nhau và sau đó gấp và hàn các mép lại được một cái hộp là một hình hộp chữ nhật không nắp. Khi đó, thể tích lớn nhất của cái hộp bằng

A. $0,154{m^3}$ B. $0,133{m^3}$

C. $0,144{m^3}$ D. $0,127{m^3}$

Câu 50(VD): Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $4a$, hai điểm $M,N$ lần lượt thuộc đoạn $AB,AD$ sao cho $AM = 3MB$ và $AN = \dfrac{1}{4}AD$. Gọi $H$ là giao điểm của $DM$ và $CN$, hình chiếu vuông góc của $S$ trên $\left( {ABCD} \right)$ là điểm $H$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ biết góc giữa $SB$ và mặt đáy bằng $60^\circ$.

A. $V = 8\sqrt {123} {a^3}$

B. $V = \dfrac{{64\sqrt {51} }}{5}{a^3}$

C. $V = \dfrac{{64\sqrt {51} }}{{15}}{a^3}$

D. $V = \dfrac{{8\sqrt {123} }}{3}{a^3}$

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn

Câu 1:

Phương pháp

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nếu $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\left( {a;b} \right)$ đồng thời $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)$ (Dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

Cách giải:

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

Chọn C

Câu 2:

Phương pháp

Giải bất phương trình mũ đơn giản ${a^x} \ge b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge {\log _a}b,\left( {a > 1} \right)\\x \le {\log _a}b,\left( {0 < a < 1} \right)\end{array} \right.$

Cách giải:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{3^{2x - 3}} \ge 9\\ \Leftrightarrow {3^{2x - 3}} \ge {3^2}\\ \Leftrightarrow 2x - 3 \ge {\log _3}{3^2}\\ \Leftrightarrow 2x - 3 \ge 2\\ \Leftrightarrow x \ge \dfrac{5}{2}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left[ {\dfrac{5}{2}; + \infty } \right)$

Chọn A

Câu 3:

Phương pháp

Thể tích của hình chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $S$ là $V = \dfrac{1}{3}Sh$

Cách giải:

Diện tích của đáy là hình vuông cạnh $2a$ là $S = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}$

Thể tích của khối chóp có đáy là hình vuông cạnh $2a$ và chiều cao bằng $3a$ là :

$V = \dfrac{1}{3}S.h = \dfrac{1}{3}.4{a^2}.3a = 4{a^3}$

Chọn A

Câu 4:

Phương pháp

Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích đáy và diện tích xung quanh của hình nón.

Cách giải:

Hình nón đã cho có $l,h,R$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy nên ta có :

Diện tích đáy của hình nón là ${S_1} = \pi {R^2}$

Diện tích xung quanh của hình nón là ${S_{xq}} = \pi Rl$

Diện tích toàn phần của hình nón là ${S_{tp}} = {S_1} + {S_{xq}} = \pi {R^2} + \pi Rl$

Chọn D

Câu 5:

Phương pháp

Hàm số $y = f{\left( x \right)^a}$ có :

+)Nếu $a$ là số nguyên dương thì hàm số xác định khi $f\left( x \right)$ xác định.

+) Nếu $a$ là số nguyên âm thì hàm số xác định khi $f\left( x \right) \ne 0$

+) Nếu $a$ không nguyên thì hàm số xác định khi $f\left( x \right) > 0$

Cách giải:

Hàm số $y = {\left( {2x - 4} \right)^{\dfrac{2}{3}}}$ xác định khi và chỉ khi $2x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 2$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $S = \left( {2; + \infty } \right)$

Chọn D

Câu 6:

Phương pháp

Tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y$ để xác định hàm số là hàm bậc ba hay bậc bốn và dấu của hệ số có số mũ lớn nhất.

Cách giải:

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = + \infty$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = - \infty$ nên hàm số đã cho là hàm bậc 3, không thể là hàm bậc 4.

Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = + \infty$ nên hệ số của ${x^3}$ dương.

Từ các phương án của bài cho ta thấy hàm số có đồ thị thỏa mãn là $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$

Chọn B

Câu 7:

Phương pháp

Áp dụng các công thức sau :

$\begin{array}{l}{\log _{{a^b}}}c = \dfrac{1}{b}.{\log _a}c\\{\log _a}{b^c} = c.{\log _a}b\\\sqrt[c]{{{a^b}}} = {a^{\dfrac{b}{c}}}\end{array}$ $\left( {0 < a \ne 1,b,c > 0} \right)$

Cách giải:

Ta có :

${\log _{{a^2}}}\sqrt[4]{{{a^3}}} = \dfrac{1}{2}{\log _a}{a^{\dfrac{3}{4}}} \\= \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}{\log _a}a = \dfrac{3}{8}$

Chọn C

Câu 8:

Phương pháp

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$ (với $a,c \ne 0$) có 1 tiệm cận đứng là $x = - \dfrac{d}{c}$ và 1 tiệm cận ngang là $y = \dfrac{a}{c}$

Cách giải:

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 2$ do $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = - \infty$

Chọn C

Câu 9:

Phương pháp

Áp dụng công thức ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$

Cách giải:

Ta có : ${a^{\dfrac{2}{3}}}.{a^{\dfrac{2}{5}}} = {a^{\dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{5}}} = {a^{\dfrac{{16}}{{15}}}}$

Chọn B

Câu 10:

Phương pháp

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Cách giải:

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$

Chọn A

Câu 11:

Phương pháp

Khối chóp có đáy là đa giác có $n$ cạnh thì hình chóp đó có số cạnh là $2n$

Cách giải:

Hình chóp tứ giác có số cạnh là $2.4 = 8$ (cạnh)

Chọn A

Câu 12:

Phương pháp

Điểm $x = a$ là cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu khi đi qua điểm $x = a$

Cách giải:

Từ BBT đã cho ta thấy Hàm số đạt cực trị tại $x = - 1$, $x = 0$ và $x = 1$

Suy ra hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Chọn B

Câu 13:

Phương pháp

Hình trụ có chiều cao bằng độ dài đường sinh.

Diện tích xung quanh của hình trụ bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.

Cách giải:

Hình trụ có chiều cao bằng độ dài đường sinh.

$l,h,R$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy của hình trụ nên diện tích xung quanh của hình trụ là ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi Rl$

Chọn B

Câu 14:

Phương pháp

Giải phương trình hàm số mũ đơn giản ${a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b$ với $0 < a \ne 1,b > 0$

Cách giải:

TXĐ : $D = \mathbb{R}$

Ta có : ${5^x} = 25 \Leftrightarrow x = {\log _5}25 \Leftrightarrow x = {\log _5}{5^2} \\\Leftrightarrow x = 2$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ 2 \right\}$

Chọn B

Câu 15:

Phương pháp

Tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y$ để xác định hàm số là hàm bậc ba hay bậc bốn và dấu của hệ số có số mũ lớn nhất.

Cách giải:

Từ đồ thị của hàm số đã cho ta thấy:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty$ nên hàm số đã cho là hàm bậc 4, không thể là hàm bậc 3

Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty$ nên hệ số của ${x^4}$ nhỏ hơn 0.

Từ đáp án ta thấy hàm số có đồ thị thỏa mãn là $y = - {x^4} + 4{x^3} + 1$

Chọn A

Câu 16:

Phương pháp

Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 để tìm 2 nghiệm ${x_1},{x_2}$.

Cách giải:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{3^{2x + 1}} - {10.3^x} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {3.3^{2x}} - {10.3^x} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {10.3^x} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{3^x} - 3} \right)\left( {{{3.3}^x} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} = 3\\{3^x} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}$

Suy ra ${x_1} + {x_2} = 0$

Chọn A

Câu 17:

Phương pháp

Hình nón có bán kính đáy bằng $R$, chiều cao bằng $h$ và đường sinh bằng $l$ thì ${R^2} + {h^2} = {l^2}$

Thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng $R$ và chiều cao bằng $h$ bằng $V = \dfrac{1}{3}.\pi {R^2}h$

Cách giải:

Đường kính của đường tròn đáy bằng $10\left( {cm} \right)$ nên bán kính của đường tròn đáy là $r = 5\left( {cm} \right)$

Gọi chiều cao của của khối nón là $h$ nên ta có:

$\begin{array}{l}{h^2} + {5^2} = {15^2}\\ \Leftrightarrow h = 10\sqrt 2 \left( {cm} \right)\end{array}$

Thể tích của khối nón có chiều cao bằng $10\sqrt 2 \left( {cm} \right)$ và bán kính đường tròn đáy bằng $5\left( {cm} \right)$ là:

$V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.5^2}.10\sqrt 2 \\= \dfrac{{250\sqrt 2 \pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)$

Chọn B

Câu 18:

Phương pháp

Số điểm chung của đồ thị $y = f\left( x \right)$ với trục $Ox$ là số nghiệm phân biệt của phương trình $f\left( x \right) = 0$

Cách giải:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Ta có:

$\begin{array}{l}y = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) \\= \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\\y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$

Phương trình $y = 0$ có 2 nghiệm phân biệt nên số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục $Ox$ là 2.

Chọn A

Câu 19:

Phương pháp

Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = m$ là số giao điểm của đường thẳng $y = m$ và đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$

Cách giải:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Ta có: $2f\left( x \right) = 7 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{7}{2}$

Từ BBT đã cho ta thấy phương trình $f\left( x \right) = \dfrac{7}{2}$ có 4 nghiệm phân biệt thuộc các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right),\left( { - 2;0} \right),\left( {0;2} \right),\left( {2; + \infty } \right)$

Chọn B

Câu 20:

Phương pháp

Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy để tìm chiều cao của khối chóp.

Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $S$ là $V = \dfrac{1}{3}S.h$

Cách giải:

Gọi khối chóp tứ giác đều đã cho là $S.ABCD$

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $H$ là trung điểm của $CD$

$S.ABCD$ là khối chóp tứ giác đều nên chân đường cao hạ từ $S$ xuống mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ trùng với tâm của hình vuông hay $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

$OH$ là đường trung bình trong tam giác $ACD$ nên $OH//AD \Rightarrow OH \bot CD$ (1)

$SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot CD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $CD \bot \left( {SOH} \right) \Leftrightarrow CD \bot SH$

Ta có :

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SH \subset \left( {SCD} \right),OH \subset \left( {ABCD} \right)\\SH \bot CD,OH \bot CD\end{array} \right.$ $\Rightarrow \widehat {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} = \widehat {SHO}$ $\Rightarrow \widehat {SHO} = 51,74^\circ$

Do đó ta có :

$OH = \dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{231}}{2}\left( m \right),$$SO = OH.\tan SHO$ $= \dfrac{{231}}{2}.\tan 51,74^\circ \approx 146,46\left( m \right)$

Thể tích của khối chóp đã cho là :$V = \dfrac{1}{3}.SO.A{B^2} = 2605057\left( {{m^3}} \right)$

Chọn B

Câu 21:

Phương pháp:

Tìm cực trị của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$. So sánh các giá trị cực trị với giá trị $f\left( { - 1} \right);f\left( 2 \right)$ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$.

Cách giải:

TXĐ : $D = \mathbb{R}$

Ta có :

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 2\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 6{x^2} + 6x - 12 = 6\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}$

Xét hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ có ${y_{CT}} = f\left( 1 \right) = - 5$ ; $f\left( { - 1} \right) = 15;$ $f\left( 2 \right) = 6$

Suy ra $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} = f\left( { - 1} \right) = 15$, $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = - 5$

Vậy $\dfrac{M}{m} = \dfrac{{15}}{{ - 5}} = - 3$

Chọn B

Câu 22:

Phương pháp

Với $b \ne 0,0 < a \ne 1$ thì ${\log _a}{b^{2k}} = 2k.{\log _a}\left| b \right|$

Cách giải:

Ta có : ${\log _a}{b^4} = 4{\log _a}\left| b \right|$ do đề bào chỉ cho $b \ne 0$, không cho $b > 0$ nên mệnh đề sai là $C$

Chọn C

Câu 23:

Phương pháp

Thể tích của khối hộp có chiều cao, chiều dài, chiều rộng lần lượt là $a,b,c$ là $V = abc$

Cách giải:

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên ta có :

$AB \bot BC$ $\Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}$ $= \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} = 5a$

$CC' \bot \left( {ABCD} \right)$ $\Rightarrow CC' \bot AC$ $\Rightarrow CC' = \sqrt {AC{'^2} - A{C^2}}$ $= \sqrt {{{\left( {10a} \right)}^2} - {{\left( {5a} \right)}^2}} = 5\sqrt 3 a$

Do đó thể tích của khối hộp trên là : $V = CC'.AB.AD = 3a.4a.5\sqrt 3 a \\= 60\sqrt 3 {a^3}$

Chọn D

Câu 24:

Phương pháp

Sử dụng các công thức sau :

$\begin{array}{l}{\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}\\{\log _a}\left( {cd} \right) = {\log _a}c + {\log _a}d\end{array}$ với $0 < a,b \ne 1;c,d > 0$

Cách giải:

Ta có :

${\log _6}7 = \dfrac{1}{{{{\log }_7}6}} = \dfrac{1}{{{{\log }_7}\left( {2.3} \right)}} = \dfrac{1}{{{{\log }_7}2 + {{\log }_7}3}}$ $= \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{{\log }_2}7}} + \dfrac{1}{{{{\log }_3}7}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}$ $= \dfrac{1}{{\dfrac{{a + b}}{{ab}}}} = \dfrac{{ab}}{{a + b}}$

Chọn D

Câu 25:

Phương pháp

Tìm đạo hàm của hàm số đã cho.

Xét dấu đạo hàm suy ra tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

TXĐ : $D = \mathbb{R}$

Ta có :

$\begin{array}{l}y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 1\\ \Rightarrow y' = 3{x^2} - 12x + 9 \\= 3\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 3\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array}$

$y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < 1\end{array} \right.$ ; $y' < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3$ nên hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {1;3} \right)$.

Chọn B

Câu 26:

Phương pháp:

Giải bất phương trình bậc 2 với ẩn là ${\log _2}x$

Cách giải:

TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}\log _2^2x - {\log _2}x - 2 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - 2} \right)\left( {{{\log }_2}x + 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x > 2\\{\log _2}x < - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > {2^2}\\x < {2^{ - 1}}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\x < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Kết hợp TXĐ ta có tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$

Chọn C

Câu 27:

Phương pháp:

Sử dụng các công thức sau :

$\begin{array}{l}{\log _{{a^b}}}c = \dfrac{1}{b}{\log _a}c\\{\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\end{array}$ với $0 < a \ne 1;b,c > 0$

Cách giải:

TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}\log _{\sqrt 2 }^2x - 3{\log _2}2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \log _{{2^{\dfrac{1}{2}}}}^2x - 3\left( {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}x} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2{{\log }_2}x} \right)^2} - 3\left( {1 + {{\log }_2}x} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 4\log _2^2x - 3{\log _2}x - 2 = 0\end{array}$

Nếu đặt $t = {\log _2}x$ thì phương trình trên trở thành $4{t^2} - 3t - 2 = 0$

Chọn C

Câu 28:

Phương pháp:

Mặt phẳng đối xứng của hình chóp là mặt phẳng mà khi ta lấy đối xứng tất cả các điểm của hình chóp qua mặt phẳng đó ta vẫn được hình chóp ban đầu.

Cách giải:

Gọi hình chóp đã cho là $S.ABC$

$S.ABC$ là hình chóp tam giác đều nên $\left\{ \begin{array}{l}SA = SB = SC\\AC = BC = CA\end{array} \right.$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ thì $\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\SM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)$

Do đó $B$ và $C$ đối xứng với nhau qua mặt phẳng $\left( {SAM} \right)$. Mặt phẳng $\left( {SAM} \right)$ là mặt phẳng đối xứng của hình chóp.

Có tất cả 3 mặt phẳng như vậy. Các mặt phẳng đi qua $S$ và trung tuyến của tam giác $ABC$ là các mặt phẳng đối xứng.

Vậy hình chóp tam giác đều có 3 mặt phẳng đối xứng.

Chọn A

Lưu ý : Tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng do tất cả các cạnh đều bằng nhau.

Câu 29:

Phương pháp:

Thể tích lăng trụ tam giác có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $S$ là $V = hS$

Cách giải:

$ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên $A'A \bot \left( {ABC} \right)$

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}$ $\Rightarrow AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = 4a$

Diện tích tam giác vuông $ABC$ là ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.3a.4a = 6{a^2}$

Thể tích của lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ là $V = A'A.{S_{ABC}} = 6a.6{a^2} = 36{a^3}$

Chọn C

Câu 30:

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nhận đường thẳng $x = a$ là tiệm cận đứng khi xảy ra một trong các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ \pm }} f\left( x \right) = \pm \infty$

Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nhận đường thẳng $y = b$ là tiệm cận đứng khi xảy ra một trong các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = b$

Cách giải:

Ta có:

$y = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{2}{{x - 1}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty$ nên đồ thị hàm số nhân đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

Chọn C

Lưu ý: $x = - 1$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 31:

Phương pháp:

Từ đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$, lập BBT của hàm số đã cho.

Từ BBT, xác định số điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.

Cách giải:

Ta có: $f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.$

BBT của hàm số đã cho như sau:

Từ BBT ta thấy hàm số đã cho có 1 điểm cực đại là $x = 2$ và 2 điểm cực tiểu là $x = 1$ và $x = 3$

Chọn B

Câu 32:

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nhận đường thẳng $x = a$ là tiệm cận đứng khi xảy ra một trong các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ \pm }} f\left( x \right) = \pm \infty$

Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nhận đường thẳng $y = b$ là tiệm cận đứng khi xảy ra một trong các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = b$

Cách giải:

Từ BBT trên ta thấy :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = + \infty$ nên $x = - 1$ là 1 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty$ nên $x = 1$ là 1 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 3$ nên $y = 3$ là 1 tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Chọn D

Câu 33:

Phương pháp:

Tìm độ dài đường sinh của hình nón khi biết bán kính đáy và góc ở đỉnh.

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy bằng $R$, độ dài đường sinh bằng $l$ là ${S_{xq}} = \pi Rl$

Cách giải:

Gọi $AB$ là một đường kính của đường tròn đáy, $I$ là tâm của đường tròn đó.

Theo giả thiết $R = IA = IB = a\sqrt 2$

Góc ở đỉnh bằng $60^\circ$ nên $\widehat {ASB} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {ASI} = \widehat {ISB} = 30^\circ$

Tam giác $SIA$ vuông tại $I$ có $\widehat {ASI} = 30^\circ$ nên $l = SA = \dfrac{{AI}}{{\sin ASI}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sin 30^\circ }} = 2\sqrt 2 a$

Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là ${S_{xq}} = \pi Rl = \pi .a\sqrt 2 .2\sqrt 2 a = 4\pi {a^2}$

Chọn B

Câu 34:

Phương pháp:

Đạo hàm của hàm số $y = {\log _a}f\left( x \right)$ với $0 < a \ne 1$ là $y' = \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{\ln a.f\left( x \right)}}$

Cách giải:

TXĐ : $D = \mathbb{R}$

Đạo hàm của hàm số $y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)$ là :

$y = \dfrac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)'}}{{\ln 2.\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}} = \dfrac{{2x - 2}}{{\ln 2.\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}$ $= \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right).\ln 2}}$

Chọn C

Câu 35:

Phương pháp:

Hình trụ có độ dài đường sinh bằng chiều cao.

Tính bán kính của đường tròn đáy khi biết chu vi đáy.

Thể tích của khối trụ có chiều cao bằng $h$ và bán kính đáy bằng $R$ là $V = \pi {R^2}h$

Cách giải:

Hình trụ đã cho có đường sinh có chiều dài bằng $3a$ nên chiều cao của hình trụ bằng $3a$

Chu vi đáy của đường tròn đáy là $8\pi a$ nên bán kính của đường tròn đáy là $R = \dfrac{{8\pi a}}{{2\pi }} = 4a$

Suy ra thể tích của khối trụ đã cho là : $V = 3a.\pi .{\left( {4a} \right)^2} = 48\pi {a^3}$

Chọn A

Câu 36:

Phương pháp:

Hàm số $y = {x^a}$ nghịch biến trên $D$ khi $a < 0$ và đồng biến trên $D$ khi $a > 0$

Cách giải:

TXĐ : $D = \left( {0; + \infty } \right)$

Từ đồ thị các hàm số trên ta thấy :

Hàm số $y = {x^\gamma }$ nghịch biến trên $D$ nên $\gamma < 0$

Hàm số $y = {x^\alpha }$ và $y = {x^\beta }$ đồng biến trên $D$ nên $\alpha ,\beta > 0$

Mặt khác, với mọi giá trị $x > 1$ thì ${x^\alpha } > {x^\beta }$ nên $\alpha > \beta$

Vậy $\gamma < 0 < \beta < \alpha$

Chọn D

Câu 37:

Phương pháp:

Tính đạo hàm của hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$

Lập BBT của hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$ để tìm giá trị nhỏ nhất.

Tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$ qua BBT

Thay GTNN bằng 4 để tìm $m$.

Cách giải:

TXĐ : $D = \mathbb{R}$

Ta có :

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + m + 1\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x = - 3\left( {{x^2} - 2x} \right) = - 3x\left( {x - 2} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$

BBT của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$ như sau :

Từ BBT ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = m + 1$

Mà giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$ bằng 4 nên $m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 3$

Chọn D

Câu 38:

Phương pháp:

Tìm đạo hàm của hàm số đã cho để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ có độ dài không nhỏ hơn 1 hay $b - a \ge 1$

Cách giải:

TXĐ : $D = \mathbb{R}$

Ta có :

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x + m\end{array}$

Phương trình $f'\left( x \right)$ có hệ số ${x^2}$ dương nên để hàm số $y = f\left( x \right)$ có khoảng nghịch biến thì phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó

Khi đó phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{m}{3}\end{array} \right.$

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$

Để khoảng nghịch biến có độ dài không nhỏ hơn 1 nên ${x_2} - {x_1} \ge 1$

Ta có :

$\begin{array}{l}{x_2} - {x_1} \ge 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \ge 1\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^2} - 4\dfrac{m}{3} \ge 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4m}}{3} \le 3 \Leftrightarrow m \le \dfrac{9}{4}\left( {t/m} \right)\end{array}$

Chọn C

Câu 39:

Phương pháp:

Sử dụng giả thiết đề bài, giải phương trình mũ để tìm $N$.

Cách giải:

Dân số nước ta đạt 110 triệu người nên ta có:

$\begin{array}{l}S = 110000000\\ \Leftrightarrow A.{e^{N.r}} = 110000000\\ \Leftrightarrow 96961884.{e^{N.0,98\% }} = 110000000\\ \Leftrightarrow N = 12,87\end{array}$

Như vậy, sau ít nhất 13 năm thì dân số nước ta đạt 110 triệu người hay đến năm 2031 thì dân số nước ta đạt 110 triệu người.

Chọn A

Câu 40:

Phương pháp:

Với số tiền gửi ban đầu là $A$, với thể thức lãi kép và lãi suất là $x\%$/ 1 quý thì sau $n$ quý, số tiền cả gốc và lãi thu được là: ${A_n} = A.{\left( {1 + x\% } \right)^n}$

Cách giải:

Đặt $A = 200$ triệu đồng, $x = 2\%$/quý

Sau 1 quý, số tiền cả gốc và lãi nhận được là :

${A_1} = A + A.x = A\left( {1 + x} \right)$

Sau 2 quý, số tiền cả gốc và lãi nhận được là :

${A_2} = {A_1} + {A_1}.x = {A_1}\left( {1 + x} \right) = A{\left( {1 + x} \right)^2}$

……..

Sau $n$ quý, số tiền cả gốc và lãi nhận được là ${A_n} = A{\left( {1 + x} \right)^n}$

3 năm = 12 quý

Số tiền cả gốc lẫn lãi mà người đó nhận được sau 12 quý là :

${A_{12}} = 200.{\left( {1 + 2\% } \right)^{12}} = 253,648$ (triệu đồng).

Chọn A

Câu 41:

Phương pháp:

Tìm 2 điểm cực trị của hàm số đã cho

Viết phương trình đi qua 2 điểm cực trị đó.

Đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ có hệ số góc lần lượt là ${k_1};{k_2}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi ${k_1}.{k_2} = - 1$

Cách giải:

TXĐ : $D = \mathbb{R}$

Ta có :

$\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$

$f\left( 0 \right) = 1;f\left( 2 \right) = - 3$ nên $A\left( {0;1} \right)$ và $B\left( {2; - 3} \right)$ là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A\left( {0;1} \right)$ và $B\left( {2; - 3} \right)$ là $y = - 2x + 1$

Đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ khi và chỉ khi $\left( {2m - 3} \right).\left( { - 2} \right) = - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{7}{4}$

Chọn D

Câu 42:

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi phương trình $f\left( x \right) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Cách giải:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + m$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi phương trình ${x^3} - 3{x^2} - 9x + m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt

Ta có:

$\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} - 9x + m = 0\\ \Leftrightarrow m = - {x^3} + 3{x^2} + 9x\end{array}$

Đặt $f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 9x$. Xét hàm số trên $\mathbb{R}$ ta có:

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 9 = - 3\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}$

BBT của hàm số $f\left( x \right)$ như sau:

Từ BBT ta thấy phương trình $f\left( x \right) = m$ có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $- 5 < m < 27$

Vậy $- 5 < m < 27$ thì đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Chọn A

Câu 43:

Phương pháp:

Xác định chân đường cao hạ từ $A'$ xuống mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$

Tìm góc tạo bởi $A'A$ và mặt phẳng đáy để tìm độ dài đường cao của hình lăng trụ.

Thể tích của hình lăng trụ có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $S$ là $V = Sh$

Cách giải:

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$. Khi đó, $A,G,M$ thẳng hàng.

Theo giả thiết $A'G \bot \left( {ABC} \right)$ nên góc tạo bởi $A'A$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa $A'A$ và $AG$

Hay $\widehat {A'AG} = 60^\circ$

Tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$ nên $AM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \sqrt 3 a$

$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\sqrt 3 a = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a$

Tam giác $A'AG$ vuông tại $G$ có $\widehat {A'AG} = 60^\circ$ nên $A'G = AG.\tan 60^\circ = 2a$

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.A{B^2} = \sqrt 3 {a^2}$

Thể tích của khối lăng trụ đã cho là ${V_{ABC.A'B'C'}} = A'G.{S_{ABC}} = 2a.\sqrt 3 {a^2} = 2\sqrt 3 {a^3}$

Chọn D

Câu 44:

Phương pháp:

Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 qua cách biến đổi và đặt ẩn phụ

Tìm điều kiện của ẩn phụ để $x > 0$

Giải, tìm điều kiện của $m$ thỏa mãn.

Cách giải:

TXĐ : $D = \mathbb{R}$

Chia cả 2 vế của phương trình đã cho cho ${4^x} \ne 0$ ta được :

$\begin{array}{l}\dfrac{{{9^x}}}{{{4^x}}} - 4.\dfrac{{{6^x}}}{{{4^x}}} + m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{2x}} - 4.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x} + m - 3 = 0\end{array}$

Đặt $t = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x},t > 0$ thì phương trình trên trở thành : ${t^2} - 4t + m - 3 = 0$ (1)

Với $x > 0$ thì $t > 1$ nên để phương trình đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt thì phương trình $\left( 1 \right)$ phải có 2 nghiệm $t$ phân biệt thỏa mãn $t > 1$. Suy ra :

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 2\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 2} \right)^2} - \left( {m - 3} \right) > 0\\4 > 0\\{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 > 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - m + 3 > 0\\m - 3 - 4 + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 6 < m < 7$

Vậy $6 < m < 7$ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt.

Chọn D

Câu 45:

Phương pháp:

Tìm góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$

Tính độ dài các cạnh cần thiết để tính độ dài đường cao và diện tích đáy của hình chóp.

Thể tích của khối chóp có chiều cao là $h$ và diện tích đáy bằng $S$ là $V = Sh$

Cách giải:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AM \bot BC$ (1)

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC \bot \left( {SAM} \right)$ hay $BC \bot SM$

Do đó góc tạo bởi mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và mặt đáy $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa $SM$ và $AM$. Hay $\widehat {SMA} = 45^\circ$

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat A = 120^\circ$ nên ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos 120^\circ = B{C^2}\\ \Leftrightarrow 2A{B^2} - 2A{B^2}.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = {\left( {2a} \right)^2}\\ \Leftrightarrow A{B^2} = \dfrac{4}{3}{a^2}\\ \Leftrightarrow AB = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a\end{array}$

$AM \bot BC \Rightarrow B{M^2} + A{M^2} = A{B^2}$ $\Leftrightarrow {a^2} + A{M^2} = \dfrac{4}{3}{a^2}$ $\Rightarrow AM = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}$

Do đó $SA = AM.\tan SMA = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}$

Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là

${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}}$ $= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a.\dfrac{1}{2}.A{B^2}.\sin BAC$ $= \dfrac{1}{6}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a.{\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a} \right)^2}.\sin 120^\circ = \dfrac{{{a^3}}}{9}$

Chọn D

Câu 46:

Phương pháp:

Hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ có 7 điểm cực trị (với $f\left( x \right)$ là hàm bậc 4) khi và chỉ khi hàm số $f\left( x \right) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt như hình bên dưới.

Cô lập $m$, tìm điều kiện của $m$ sao cho hàm số $f\left( x \right) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt.

Cách giải:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\dfrac{3}{4}{x^4} - {x^3} - 3{x^2} + m + 2} \right|$ có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi pt$f\left( x \right) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt.

Ta có:

$f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}{x^4} - {x^3} - 3{x^2} + m + 2 = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}{x^4} - {x^3} - 3{x^2} + 2 = - m$ (1)

Phương trình $f\left( x \right) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình $\left( 1 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt.

Đặt $g\left( x \right) = \dfrac{3}{4}{x^4} - {x^3} - 3{x^2} + 2$. Xét hàm số $g\left( x \right)$ ta có:

$g'\left( x \right) = 3{x^3} - 3{x^2} - 6x = 3x\left( {{x^2} - x - 2} \right) = 3x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)$

$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = - 1\end{array} \right.$

BBT của hàm số $g\left( x \right)$ như sau:

Phương trình $\left( 1 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $g\left( x \right) = - m$ có 4 nghiệm phân biệt.

Từ BBT ta thấy khi $\dfrac{3}{4} < - m < 2 \Leftrightarrow - 2 < m < - \dfrac{3}{4}$ thì phương trình $f\left( x \right) = - m$ có 4 nghiệm phân biệt.

Mà $m$ là số nguyên nên $m = - 1$

Vậy có 1 giá trị của thỏa mãn.

Chọn D

Câu 47:

Phương pháp:

Viết phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $d$

Tìm điều kiện để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí Vi – ét, cho $AB = \sqrt 5$ để tìm $m$

Cách giải:

TXĐ : $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và đồ thị $\left( C \right)$ là :

$\begin{array}{l}\dfrac{{2x - 2}}{{x + 1}} = 2x + m\\ \Leftrightarrow 2x - 2 = \left( {2x + m} \right)\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + mx + m - 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + mx + m + 2 = 0\end{array}$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + mx + m + 2 = 0$ (1)

Đường thẳng $d$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác $- 1$. Hay $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8\left( {m + 2} \right) > 0\\2.{\left( { - 1} \right)^2} - m + m + 2 \ne 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow {m^2} - 8m - 16 > 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4 + 4\sqrt 2 \\m < 4 - 4\sqrt 2 \end{array} \right.$ (*)

Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - m}}{2}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m + 2}}{2}\end{array} \right.$

Suy ra $A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right);B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right)$. Do đó, $AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {2{x_1} + m - 2{x_2} - m} \right)}^2}} = \sqrt {5{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}$

$\begin{array}{l}AB = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{ - m}}{2}} \right)^2} - 4.\dfrac{{m + 2}}{2} = 1\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8\left( {m + 2} \right) = 4\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8m - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 10\\m = - 2\end{array} \right.\left( {t/m\left( * \right)} \right)\end{array}$

Mà $m > 0$ nên $m = 10$ hay $m \in \left( {9;15} \right)$

Chọn A

Câu 48:

Phương pháp:

Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm của đáy một khoảng bằng $12\left( {cm} \right)$ ta được một tam giác cân.

Tính chiều cao và độ dài đáy của thiết diện để tính diện tích của thiết diện đó.

Cách giải:

Gọi $S$ là đỉnh, $I$ là tâm đường tròn đáy của hình nón đã cho.

Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy một khoảng bằng 2 cắt đường tròn đáy theo dây cung $AB$

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Qua $I$ kẻ $IH \bot SM\left( {H \in SM} \right)$.

Ta có:

$IA = IB = 25\left( {cm} \right)$ nên tam giác $IAB$ cân tại $I$ hay $IM \bot AB$ (1)

$SI \bot \left( {IAB} \right) \Rightarrow SI \bot AB$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AB \bot \left( {SIM} \right) \Rightarrow AB \bot IH$ mà $IH \bot SM$ nên $IH \bot \left( {SAB} \right)$

Khoảng cách từ tâm đến mp $\left( {SAB} \right)$ bằng $12\left( {cm} \right)$ nên $IH = 12\left( {cm} \right)$

Tam giác $SIM$ vuông tại $I,$ có đường cao $IH$ nên:

$\dfrac{1}{{I{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{I^2}}} + \dfrac{1}{{I{M^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{12}^2}}} = \dfrac{1}{{{{20}^2}}} + \dfrac{1}{{I{M^2}}} \Rightarrow IM = 15\left( {cm} \right)$

$S{M^2} = S{I^2} + I{M^2} = {20^2} + {15^2} \Rightarrow SM = 25\left( {cm} \right)$

Tam giác $IAM$ vuông tại $M$ nên $AM = \sqrt {I{A^2} - I{M^2}} = 20\left( {cm} \right) \Rightarrow AB = 40\left( {cm} \right)$

Tam giác $SAB$ có $SM \bot AB$ nên diên tích tam giác $SAB$ là:

${S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SM.AB = \dfrac{1}{2}.40.25 = 500\left( {c{m^2}} \right)$

Vậy diện tích thiết diện bằng $500\left( {c{m^2}} \right)$

Chọn A

Câu 49:

Phương pháp:

Đưa bài toán về phương trình một ẩn, tìm điều kiện của ẩn đó để tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Cách giải:

Gọi $x\left( {0 < x < \dfrac{1}{2}} \right)$ là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt

Từ hình vẽ trên ta thấy chiều cao của hình hộp chính bằng $x\left( m \right)$, chiều dài của cái hộp bằng $1,6 - 2x\left( m \right)$ và chiều rộng của cái họp bằng $1 - 2x\left( m \right)$

Suy ra thể tích của hình hộp tạo thành là

$\begin{array}{l}V = f\left( x \right) = x.\left( {1,6 - 2x} \right)\left( {1 - 2x} \right)\\ = x\left( {1,6 - 5,2x + 4{x^2}} \right)\\ = 4{x^3} - 5,2{x^2} + 1,6x\end{array}$

Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)$

Ta có :

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 12{x^2} - 10,4x + 1,6\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\x = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\end{array}$

BBT của hàm số $y = f\left( x \right)$ trong khoảng $\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)$ như sau :

Từ BBT ta thấy thể tích lớn nhất của chiếc hộp bằng $\dfrac{{18}}{{125}} = 0,144\left( {{m^3}} \right)$

Chọn C

Câu 50:

Phương pháp:

Tìm góc tạo bởi $SB$ và mp$\left( {ABCD} \right)$ rồi tính độ dài $BH$ để suy ra độ dài đường cao $SH$

Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $S$ là $V = \dfrac{1}{3}Sh$

Cách giải:

$SH \bot \left( {ABCD} \right)$ nên góc tạo bởi $SB$ và mặt phẳng đáy là góc giữa $SB$ và $BH$. Hay $\widehat {SBH} = 60^\circ$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}AM = 3MB \Rightarrow AM = \dfrac{3}{4}AB\\AN = \dfrac{1}{4}AD \Rightarrow DN = \dfrac{3}{4}AD\end{array} \right\} \Rightarrow AM = DN$

Suy ra

$\Rightarrow \widehat {NCD} = \widehat {MDA}$ $\Leftrightarrow \widehat {NCD} + \widehat {HDN} = \widehat {HDN} + \widehat {MDA} = 90^\circ$ $\Rightarrow \widehat {DHC} = 90^\circ \Leftrightarrow MD \bot CN$

Lại có:

$\left\{ \begin{array}{l}\tan NCD = \dfrac{{ND}}{{DC}} = \dfrac{3}{4}\\\tan HCD = \dfrac{{DH}}{{DC}}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{HD}}{{HC}} = \dfrac{3}{4}$

Mặt khác $H{D^2} + H{C^2} = D{C^2}$ $\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{4}HC} \right)^2} + H{C^2} = 16{a^2}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HC = \dfrac{{16}}{5}a\\HD = \dfrac{{12}}{5}a\end{array} \right.$

$\sin HCD = \dfrac{{HD}}{{DC}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \cos HCB = \dfrac{3}{5}$ (do $\widehat {HCD} + \widehat {HCB} = 90^\circ$)

Suy ra

$\begin{array}{l}H{B^2} = H{C^2} + B{C^2} - 2HC.BC.\cos HCB\\ \Leftrightarrow H{B^2} = {\left( {\dfrac{{16}}{5}a} \right)^2} + {\left( {4a} \right)^2} - 2.\dfrac{{16}}{5}a.4a.\dfrac{3}{5}\\ \Rightarrow HB = \dfrac{{4\sqrt {17} }}{5}a\end{array}$

Tam giác $SBH$ vuông tại $H$ nên $SH = BH.\tan HBS = \dfrac{{4\sqrt {17} }}{5}a.\tan 60^\circ = \dfrac{{4\sqrt {51} }}{5}a$

Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.A{B^2} = \dfrac{{64\sqrt {51} }}{{15}}{a^3}$

Chọn C