Đề bài
Trong hệ toạ độ OxyzOxyz, tìm toạ độ điểm A′ đối xứng với điểm A(1;−2;−5) qua đường thẳng ∆ có phương trình {x=1+2ty=−1−tz=2t.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Xác định tọa độ điểm H là hình chiếu của A trên đường thẳng Δ.
- Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với Δ. Tìm phương trình mặt phẳng (P).
- Khi đó H là giao điểm của Δ và mặt phẳng (P).
+) Điểm M' đối xứng với M qua Δ khi và chỉ khi H là trung điểm của MM', từ đó suy ra tọa độ điểm M'.
Lời giải chi tiết
Gọi H(1+2t;−1−t;2t)∈Δ là hình chiếu của A trên Δ.
Có →uΔ=(2;−1;2) , →AH=(2t;1−t;2t+5)
→AH⊥→uΔ⇔→AH.→uΔ=0 ⇔2.2t−1.(1−t)+2.(2t+5)=0 ⇔4t−1+t+4t+10=0 ⇔9t+9=0⇔t=−1 ⇒H(−1;0;−2)
Vì A' đối xứng với A qua Δ nên H là trung điểm của AA'. Ta có:
{xA′=2xH−xAyA′=2yH−yAzA′=2zH−zA⇔{xA′=2.(−1)−1=−3yA′=2.0−(−2)=2zA′=2.(−2)−(−5)=1⇒A′(−3;2;1)
Cách khác:
Ta có thể tìm tọa độ điểm H như sau:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng △. Khi đó H là trung điểm của AA′.
Xét mặt phẳng (P) qua A và (P)⊥△. Khi đó H=(P)⋂△.
Vì →u(2;−1;2) là vectơ chỉ phương của △ nên →u là vectơ pháp tuyến của (P).
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2(x−1)−(y+2)+2(z+5)=0 hay 2x−y+2z+6=0 (1)
H=Δ∩(P)⇒H∈Δ⇒H(1+2t;−1−t;2t), thay tọa độ điểm H vào phương trình mặt phẳng (P) ta có: 2(1+2t)+(1+t)+4t+6=0
⇒9t+9=0⇒t=−1 ⇒H(−1;0;−2).
